Approximation et simulation des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies, applications en finance

Approximation and simulation of reflected Backward Stochastic Differential Equations, applications in Finance

• Auteur / Autrice : Wanqing Wang
• Direction : Emmanuel Gobet, Mingyu Xu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 10/11/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne) - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique / CMAP
• Jury : Président / Présidente : Aurélien Alfonsi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Gobet, Saïd Hamadène, Chao Zhou, Christophette Blanchet-Scalliet, Caroline Hillairet, Gilles Pagès
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Saïd Hamadène, Chao Zhou

Mots clés

Mots clés contrôlés

Finances

Équations différentielles stochastiques rétrogrades

Vitesse de convergence

Mots clés libres

Équations rétrogrades

Vitesse de convergence

Borne d'erreur

Pénalisation

Option américaines

Monte-Carlo

Backward equations

Convergence rate

Error bound

Penalization

American options

Monte-Carlo

Résumé

Dans cette thèse, on se concentre sur la résolution des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies par l'approche de pénalisation et ses applications en finance. Un résultat complet de convergence non asymptotique est étudié autour des EDSBR pénalisées. La vitesse de convergence de la solution pénalisée vers la solution réfléchie est présenté en premier lieu, suivi de la vitesse de convergence de la solution pénalisée discrète vers la solution pénalisée continue. Pour la résolution numérique des EDSR pénalisées, on propose un schéma implicite utilisant la méthode de Monte-Carlo avec régression des moindres carrés. Une analyse d'erreur non asymptotique est déduite pour ce schéma numérique, dans laquelle à la fois la régression linéaire et non linéaire des moindres carrés sont considérées comme méthodes d'optimisation. La thèse se conclut par une application des EDSR pénalisées aux options d'achat/vente américaines sur un marché non linéaire. Le changement de numéraire est étudié sur les diffusions réfléchies. On constate, comme sur le marché parfait, que l'équivalence de prix entre une option de vente américaine et une option d'achat américaine est obtenue en échangeant les taux d'intérêt avec les taux de dividende, et en échangeant le prix spot avec le prix d'exercice, sur un marché imparfait avec 2 taux d'intérêt et 2 taux de dividende.

In this thesis, one concentrates on solving the reflected backward stochastic differential equations via penalization approach and its applications in finance. A complete non-asymptotic convergence result is investigated around penalized BSDE. The rate of penalized solution converging to reflected solution is presented in the first place and it follows by the rate of discrete penalized solution converging to the continuous penalized one. For solving numerically PBSDEs, one provides an implicit scheme using least-squares regression Monte-Carlo method. The non-asymptotic error analysis is deduced for this numerical scheme, in which both linear and non-linear least-squares regression are considered as optimization method. The thesis is completed by an application of RBSDEs on American Put/Call options in the non-linear market. The change of num'eraire is investigated on reflected diffusions. One finds, as in the perfect market, the pricing equivalence between an American Put option and an American Call option is achieved by exchanging the interest rates with dividend rates, and swapping the spot price with the strike price, in a imperfect market with 2 interest rates and 2 dividend rates.