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Thèse soutenue

Théorèmes limites pour la méthode MLMC pour plusieurs modèles : processus exponentiel Lévy, EDS dirigée par un processus de Lévy à sauts purs et processus de diffusion avec une approximation antithétique

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Auteur / Autrice : Thi Bao Trâm Ngô
Direction : Mohamed Ben Alaya, Ahmed Kebaier
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathematiques
Date : Soutenance le 09/07/2021
Etablissement(s) : Paris 13
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Érasme (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse- Géométrie et Applications / LAGA
Jury : Président / Présidente : Damien Lamberton
Examinateurs / Examinatrices : Emmanuelle Clément, Jean-Stéphane Dhersin, Yueyun Hu, Benjamin Jourdain
Rapporteur / Rapporteuse : Emmanuelle Clément, Gilles Pagès

Résumé

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Motivés par la méthode multilevel Monte Carlo (MLMC), introduite par Giles,2008b permettant d'améliorer la vitesse de la méthode Monte Carlo classique, nous nous intéressons à développer des théorèmes limites autour de cette méthode dans des cadres différents. La thèse se compose de trois parties : Dans la première partie, nous démontrons un théorème de la limite centrale sur la méthode MLMC pour le calcul des prix d'options de type vanille en finance lorsque l'actif sous-jacent est donné par un modèle exponentiel de Lévy. Pour prouver ce résultat, nous donnons un théorème limite fonctionnel sur le comportement asymptotique de la distribution de l'erreur du processus d'approximation entre deux niveaux consécutifs de la méthode MLMC. De plus, nous fournissons une analyse de la complexité de l'algorithme montrant que la méthode MLMC réduit efficacement le coût de calcul par rapport à une méthode classique de Monte Carlo et dans certains cas particuliers pour une précision '' donnée elle atteint la complexité optimale O(''2) qui correspond à la méthode de Monte Carlo non biaisée. Nous illustrons la suprématie de la méthode MLMC sur les méthodes de Monte Carlo à travers des tests numériques pour un modèle exponentiel de CGMY. Dans la deuxième partie, nous étudions le comportement asymptotique du processus d'erreur normalisé un, m(Xn Xnm) où Xn et Xnm sont respectivement des approximations d'Euler avec des pas de temps 1=n et 1=nm d'une équation différentielle stochastique dirigée par un processus de Lévy à sauts purs. Dans cet article, nous prouvons que cette erreur de type multilevel converge vers un processus limite non trivial avec une vitesse de convergence un,m. Les résultats obtenus sont en continuité avec ceux de Jacod, 2004 établis pour l'erreur normalisée un(Xn X). Cependant, contrairement à Jacod, 2004, dans nos preuves, nous traitons le comportement de la loi jointe de m tableaux triangulaires dépendants. Formellement, lorsque m tend vers l'infini, nous récupérons les processus limites de Jacod, 2004 Dans la dernière partie, nous introduisons l'estimateur MLMC antithétique pour une diffusion multi-dimensionnelle qui est une extension de la méthode MLMC antithé-tique originale introduite par Giles and Szpruch, 2014. Notre objectif est d'étudier le comportement asymptotique des erreurs faibles impliquées dans ce nouvel algorithme. Parmi les résultats obtenus, nous montrons que l'erreur entre d'une part la moyenne du schéma de Milstein sans l'aire de Lévy et sa version antithétique construits sur la grille ne et d'autre part l'approximation grossière converge en loi stablement avec une vitesse d'ordre 1. Nous montrons également que l'erreur entre le schéma de Milstein sans l'aire de Lévy et sa version antithétique converge en loi stablement avec une vitesse d'ordre 1=2. Plus précisément, nous avons un théorème de limite fonctionnelle sur le comportement asymptotique de la loi jointe de ces deux erreurs basé sur une approche par tableau triangulaire. Grâce à ce résultat, nous établissons un théorème central limite de type Lindeberg-Feller pour l'estimateur MLMC antithétique. Une analyse de la complexité de l'algorithme est effectuée