Étude des systèmes de contrôle sous contraintes non-holonomes quadratiques : planification de trajectoires, introduction à la méthode de continuation régularisée

Study of control systems under quadratic nonholonomic constraints : motion planning, introduction to the regularised continuation method

• Auteur / Autrice : Timothée Schmoderer
• Direction : Witold Respondek, Emmanuel Trélat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/06/2022
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement de préparation : Institut national des sciences appliquées Rouen Normandie (Saint-Etienne-du-Rouvray ; 1985-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de l'INSA Rouen Normandie (Saint Etienne du Rouvray, Seine-Maritime ; 1987-....)
• Jury : Président / Présidente : Hasnaa Zidani
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Witold Respondek, Emmanuel Trélat, Yacine Chitour, Frédéric Jean, Ugo Boscain, Jean-Baptiste Pomet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yacine Chitour, Frédéric Jean

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation par ordinateur

Géométrie différentielle

Prolongement (mathématiques)

Géométrie infinitésimale

Lie, Algèbres de

Formes quadratiques

Systèmes non-holonomes

Théorie du contrôle

Systèmes non linéaires

Mots clés libres

Système non-linéaire de contrôle

Contraintes non holonomes quadratiques

Équivalence par bouclage

Formes normales

Algèbre de Lie des symétries infinitésimales

Planification de trajectoires

Méthode de continuation

Régularisation de Tikhonov

Nonlinear control system

Quadratic nonholonomic constraints

Feedback equivalence

Normal forms

Lie algebra of infinitesimal symmetries

Motion planning

Continuation method

Tikhonov regularisation

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la théorie et aux applications du contrôle géométrique. La première partie de la thèse est dédiée au problème d'équivalence des sous-variétés du fibré tangent à des sous-variétés décrites par une équation quadratique (par rapport aux vitesses). Nous étudions ce problème par le biais de l’équivalence par bouclage des systèmes de contrôle (non-linéaire et affine). Ainsi, nous développons une théorie des systèmes de contrôle quadratiques. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le problème de planification de trajectoire (PPT), c'est-à-dire l'étude d'algorithmes qui calculent des contrôles réalisant une certaine trajectoire cible. Nous proposons une régularisation de la méthode de continuation introduite par Chitour et Sussmann. Nous donnons une condition nécessaire pour que notre méthode régularisée converge vers une solution du PPT. Finalement, nous illustrons le potentiel de notre méthode à travers plusieurs exemples numériques.

In this thesis, we are interested in theoretical and applied geometric control theory. The first part of the thesis is dedicated to the problem of equivalence of submanifolds of the tangent bundled to submanifolds described by a quadratic equation (with respect to velocities). We study this problem with the help of feedback equivalence of control systems (non-linear and affine) and we develop a theory of quadratic control systems, in particulr, we provide normal forms. In the second part of the thesis, we study the motion planning problem (MPP), that is the study of algorithms that compute controls achieving a certain target path. We propose a regularisation of the continuation method introduced by Chitour and Sussmann. We give a necessary condition for our regularised method to converge to a solution of the motion planning problem. Finally, we illustrate the potential of our method through several numerical examples.