Méthodes multilevel pour l’apprentissage bayésien et applications aux données biologiques

Multilevel methods for Bayesian learning and applications to biological datas

• Auteur / Autrice : Maxime Egéa
• Direction : Fabien Panloup
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs intéractions
• Date : Soutenance le 29/03/2023
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Sciences et Technologies du numérique, de l’Information et de la Communication (Nantes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
• Jury : Président / Présidente : Gilles Pagès
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Arnak S. Dalalyan, Gersende Fort
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Andreas Eberle, Ahmed Kebaier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique médicale

Méthode d'Euler

Modèles à effets mixtes

Théorie ergodique

Langevin, Équation de

Markov, Processus de

Gibbs, Mesures de

Statistique bayésienne

Mots clés libres

Inférence bayésienne

Grande dimension

Ergodicité

Algorithme stochastique

Schéma d’Euler

Multilevel

Bayesian inference

High dimension

Gibbs mesure

Markov process

Langevin equation

Ergodicity

Stochastic algorithm

Euler scheme

Multilevel

Résumé

Cette thèse est issue d’un partenariat entre le laboratoire de Mathématiques d’Angers (LAREMA) et le SIRIC-ILIAD (Site de Recherche Intégrée sur le Cancer) Nantes-Angers. L’objectif est le développement de méthodes numériques efficaces pour l’apprentissage bayésien des données inhérentes aux cancers. Outre la difficulté statistique liée au faible nombre d’individus comparé au nombre de données acquises par patient, la grande dimension impact fortement l’efficacité des méthodes numériques et nécessite le développement de nouvelles méthodes capables d’appréhender cette même dimension. Après une introduction visant à présenter les outils et résultats existant, le premier travail de cette thèse introduit un nouvel algorithme multilevel. D’abord décrite dans un cadre général, la complexité de cet algorithme est calculée plus précisément pour des diffusions de Langevin satisfaisant des hypothèses d’uni-forme convexité. En plus de décrire explicitement les dépendances en la dimension, ces résultats améliorent ceux existant dans la littérature. Dans un deuxième temps,on cherche à affaiblir l’hypothèse d’uniforme convexité afin de mieux répondre à certains objectifs statistiques. Dans ce cadre difficile, deux techniques sont étudiées.Dans la première, l’idée est d’ajouter une composante fortement convexe au potentiel faiblement convexe afin de pouvoir utiliser les résultats de la première partie. Dans la seconde partie, on se place dans un cadre intermédiaire entre l’uniforme et la faible convexité. Après avoir montré des résultats concernant les moments exponentiels ou encore la distance en temps long à la diffusion, on montre que l’algorithme multilevel s’adapte à ce cadre et permet d’approcher l’estimateur avec une complexité explicite en les paramètres. Le dernier travail consiste à illustrer l’application des méthodes précédemment évoquées aux données réelles. Ainsi, on étudie un jeu de données contenant des données génomiques de patient atteint de cancer du sein. Après une réduction de la dimension, on calcule la moyenne a posteriori associée à une régression logistique visant à prévoir la réponse aux traitements.

This thesis is the result of a partnership between the Mathematics laboratory of Angers (LAREMA) and the SIRIC-ILIAD (Site of Integrated Research on Cancer) Nantes-Angers. The objective is to develop efficient numerical methods for Bayesian learning of cancer data. In addition to the statistical difficulty related to the small number of individuals compared to the number of data acquired per patient, the large dimension strongly impacts the efficiency of the numerical methods. Then, it requires the development of new methods able to apprehend the dimension. After an introduction presenting the existing tools and results,the first work of this thesis introduces a new multilevel algorithm. First described in a general framework, the complexity of this algorithm is computed more precisely for Langevin diffusions satisfying uniform convexity assumptions. In addition to the explicit description of the dependencies in the dimension, these results improve those existing in the literature. In the second step, we try to weaken the uniform convexity assumption in order to meet some statistical objectives. In this difficult framework, two techniques are studied. In the first one, the idea is to add a strongly convex component to the weakly convex potential in order to use the results of the first part. In the second part, we study an intermediate framework between uniform and weak convexity. After showing results concerning the exponential moments or the distance in a long time to the diffusion, we show that the multilevel algorithm fits in this framework. It allows us to approach the estimator with an explicit complex-ity in terms of the parameters. The last work consists of the application of the previously mentioned methods to real data. Thus, we study a dataset containing genomic data of breast cancer patients. After a dimension reduction, we compute the posterior mean associated with alogistic regression to predict the response to treatments.