Quantifying uncertainty in asset management : Kernel methods and statistical fluctuations

par Linda Chamakh

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Emmanuel Gobet et de Zoltán Szabó.

Le président du jury était Caroline Hillairet.

Le jury était composé de Emmanuel Gobet, Zoltán Szabó, Romuald Elie, Lorenzo Rosasco, Jean-Philippe Lemor, Grégoire Loeper, Agnès Sulem.

Les rapporteurs étaient Romuald Elie, Lorenzo Rosasco.


  • Résumé

    Le traitement des incertitudes est un problème fondamental dans le contexte financier. Les variables étudiées sont souvent dépendantes du temps, avec des queues de distribution épaisses. Dans cette thèse, on s'intéresse à des outils permettant de prendre en compte les incertitudes sous ses formes principales: incertitudes statistiques, paramétriques et erreur de modèle, tout en gardant en tête qu’on souhaite les appliquer à ce contexte.La première partie est consacrée à l’établissement d’inégalités de concentration dans le cadre de variables à queues épaisses. L’objectif de ces inégalités est de quantifier quelle confiance on peut donner à un estimateur basé sur une taille finie d'observations. Dans cette thèse, nous établissons de nouvelles inégalités de concentration, qui couvrent notamment le cas d'estimateur à distribution log-normale.Dans la seconde partie, on traite de l'impact de l'erreur de modèle pour l'estimation de la matrice de covariance sur des rendements boursiers, sous hypothèse qu’il existe un processus de covariance instantanée entre les rendements dont la valeur présente dépend de sa valeur passée. On peut alors construire explicitement la meilleure estimée de la matrice de covariance pour un instant et un horizon d'investissement donnés, et montrer qu'elle fournie la variance réalisée la plus faible avec grande probabilité dans le cadre du portefeuille minimum variance.Dans la troisième partie, on propose une approche pour estimer le ratio de Sharpe et l'allocation de portefeuille lorsqu'ils dépendent de paramètres jugés incertains. Notre approche passe par l'adaptation d'une technique d'approximation stochastique pour le calcul de la décomposition en polynômes du chaos de la quantité d'intérêt.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, on s'intéresse à l'optimisation de portefeuille avec distribution cible. Cette technique peut être formalisée sans avoir recours à aucune hypothèse de modèle sur les rendements. Nous proposons de trouver ces portefeuilles en minimisant des mesures de divergence basées sur les fonctions noyau et la théorie du transport optimal.

  • Titre traduit

    Quantification des incertitudes en gestion d'actifs : méthodes à noyaux et fluctuations statistiques


  • Résumé

    The treatment of uncertainties is a fundamental problem in the financial context, and more precisely in portfolio optimisation. The variables studied are often time dependent, with heavy tails. In this thesis, we are interested in tools allowing to take into account uncertainties in its main forms: statistical uncertainties, parametric uncertainties and model error, keeping in mind that we wish to apply them to the financial context.The first part is devoted to the establishment of concentration inequalities for variables with heavy tailed distributions. The objective of these inequalities is to quantify the confidence that can be given to an estimator based on observations of finite size. In this thesis, we establish new concentration inequalities which include the case of estimators with log-normal distribution.In the second part, we discuss the impact of the model error for the estimation of the covariance matrix on stock returns, under the assumption that there is an instantaneous covariance process between the returns whose present value depends on its past values. One can then explicitly construct the best estimate of the covariance matrix for a given time and investment horizon, and we show that this estimate gives the best performance with high probability in the minimum variance portfolio framework.In the third part, we propose an approach to estimate the Sharpe ratio and the portfolio allocation when they depend on parameters considered uncertain. Our approach involves the adaptation of a stochastic approximation technique for the computation of the polynomial decomposition of the quantity of interest.Finally, in the last part of this thesis, we focus on portfolio optimization with target distribution. This technique can be formalised without the need for any model assumptions on returns. We propose to find these portfolios by minimizing divergence measures based on kernels or optimal transport. Since these divergence measures can be unbounded and have not been studied much yet in the unbounded kernel case, we establish new convergence guarantees based on concentration inequalities.


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