Stochastic approximations for financial risk computations

par Florian Bourgey

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Emmanuel Gobet et de Stefano De Marco.

Le président du jury était Mathieu Rosenbaum.

Le jury était composé de Emmanuel Gobet, Stefano De Marco, Christian R. Bayer, Ahmed Kebaier, Ying Jiao, Caroline Hillairet, Vincent Lemaire.

Les rapporteurs étaient Christian R. Bayer, Ahmed Kebaier.

  • Titre traduit

    Approximations stochastiques pour les calculs de risques financiers


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous examinons plusieurs méthodes d'approximations stochastiques à la fois pour le calcul de mesures de risques financiers et pour le pricing de produits dérivés.Comme les formules explicites sont rarement disponibles pour de telles quantités, le besoin d'approximations analytiques rapides,efficaces et fiables est d'une importance capitale pour les institutions financières.Nous visons ainsi à donner un large aperçu de ces méthodes d'approximation et nous nous concentrons sur trois approches distinctes.Dans la première partie, nous étudions plusieurs méthodes d'approximation Monte Carlo multi-niveaux et les appliquons à deux problèmes pratiques :l'estimation de quantités impliquant des espérances imbriquées (comme la marge initiale) ainsi que la discrétisation des intégrales apparaissant dans les modèles rough pour la variance forward pour le pricing d'options sur le VIX.Dans les deux cas, nous analysons les propriétés d'optimalité asymptotique des estimateurs multi-niveaux correspondants et démontrons numériquement leur supériorité par rapport à une méthode de Monte Carlo classique.Dans la deuxième partie, motivés par les nombreux exemples issus de la modélisation en risque de crédit, nous proposons un cadre général de métamodélisation pour de grandes sommes de variables aléatoires de Bernoulli pondérées, qui sont conditionnellement indépendantes par rapport à un facteur commun X. Notre approche générique est basée sur la décomposition en polynômes du chaos du facteur commun et sur une approximation gaussienne. Les estimations d'erreur L2 sont données lorsque le facteur X est associé à des polynômes orthogonaux classiques.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons aux asymptotiques en temps court de la volatilité implicite américaine et les prix d'options américaines dans les modèles à volatilité locale. Nous proposons également une approximation en loi de l'indice VIX dans des modèles rough pour la variance forward, exprimée en termes de proxys log-normaux et dérivons des résultats d'expansion pour les options sur le VIX dont les coefficients sont explicites.


  • Résumé

    In this thesis, we investigate several stochastic approximation methods for both the computation of financial risk measures and the pricing of derivatives.As closed-form expressions are scarcely available for such quantities, %and because they have to be evaluated daily, the need for fast, efficient, and reliable analytic approximation formulas is of primal importance to financial institutions.We aim at giving a broad overview of such approximation methods and we focus on three distinct approaches.In the first part, we study some Multilevel Monte Carlo approximation methods and apply them for two practical problems: the estimation of quantities involving nested expectations (such as the initial margin) along with the discretization of integrals arising in rough forward variance models for the pricing of VIX derivatives.For both cases, we analyze the properties of the corresponding asymptotically-optimal multilevel estimatorsand numerically demonstrate the superiority of multilevel methods compare to a standard Monte Carlo.In the second part, motivated by the numerous examples arising in credit risk modeling, we propose a general framework for meta-modeling large sums of weighted Bernoullirandom variables which are conditional independent of a common factor X.Our generic approach is based on a Polynomial Chaos Expansion on the common factor together withsome Gaussian approximation. L2 error estimates are given when the factor X is associated withclassical orthogonal polynomials.Finally, in the last part of this dissertation, we deal withsmall-time asymptotics and provide asymptoticexpansions for both American implied volatility and American option prices in local volatility models.We also investigate aweak approximations for the VIX index inrough forward variance models expressed in termsof lognormal proxiesand derive expansions results for VIX derivatives with explicit coefficients.


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