Long term interest rates and market numeraire: a financial point of view Stochastic analysis of determinantal point processes

• Auteur / Autrice : Isabelle Alice Camilier
• Direction : Nicole El Karoui, Laurent Decreusefond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Gobet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Denis, Alfred Galichon
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Eckhard Platen, Nicolas Privault, Marie-Claire Quenez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Malliavin, Calcul de

Processus ponctuels

Taux d'intérêt

Résumé

Dans la premiere partie de cette these, nous donnons un point de vue financier sur l'etude des taux d'interet long terme. En finance, les modèles classiques de taux ne s'appliquent plus pour des maturites longues (15 ans et plus). Nous montrons que les techniques de maximisation d'utilite esperee permettent de retrouver la regle de Ramsey (qui relie la courbe des taux a l'utilite marginale de la consommation optimale). En marche incomplet, il est possible de montrer un analogue de la regle de Ramsey et nous examinons la maniere dont la courbe des taux est modifiee. Ensuite nous considerons le cas ou il y a une incertitude sur un parametre du modele, puis nous etendons ces resultats au cas ou les fonctions d'utilites sont stochastiques. D'autre part nous proposons dans cette these une nouvelle maniere d'apprehender la consommation, comme des provisions que l'investisseur met de cote pour les utiliser en cas d'un evenement de defaut. Alors le probleme de maximisationn de l'utilite esperee de la richesse et de la consommation peut etre vu comme un probleme de maximisation de l'utilite esperee de la richesse terminale avec un horizon aleatoire. La deuxieme partie de cette these concerne l'analyse stochastique des processus ponctuels determinantaux. Les processus determinantaux et permanentaux sont des processus ponctuels dont les fonctions de correlations sont donnees par un determinant ou un permanent. Les points de ces processus ont respectivement un comportement de repulsion ou d'attraction: ils sont tres loin de la situation d'absence de correlation rencontree pour les processus de Poisson. Nous etablissons un resultat de quasi-invariance: nous montrons que si nous perturbons les point le long d'un champ de vecteurs, le processus qui en resulte est toujours un determinantal, dont la loi est absolument continue par rapport a la distribution d'origine. En se basant sur cette formule et en suivant l'approche de Bismut du calcul de Malliavin, nous donnons ensuite une formule d'integration par parties.

The first part of this thesis concerns a nancial point of view of the study of long term interest rates. We seek an alternative to classical interest rates models for longer maturities (15 years and more). Our work is inspired by the work of economists, but takes into account the existence of a (complete) financial market. We show that classical expected utility maximization techniques lead to the Ramsey Rule, linking the yield curve and marginal utility from consumption. We extend the Ramsey Rule to the case of an incomplete financial market and examine how the yield curve is modied. It is then possible to consider the case where there is incertainty on a parameter of the model, then to extend these results to the case of dynamic utility functions, where the yield curve depends on level of wealth in the economy. The other main result we present is a new way of considering the consumption, as a quantity of supplies that the investor puts aside and uses in case of a default event. Then the expected utility maximization from consumption and terminal wealth can be interpreted as a problem of maximization of expected utility from terminal wealth with a random horizon. The topic of the second part of this thesis is the stochastic analysis of determinantal point processes. Determinantal and permanental processes are point processes with a correlation function given by a determinant or a permanent. Their atoms exhibit mutual attraction or repulsion, thus these processes are very far from the uncorrelated situation encountered in Poisson models. We establish a quasi-invariance result : we show that if atoms locations are perturbed along a vector eld, the resulting process is still a determinantal (respectively permanental) process, the law of which is absolutely continuous with respect to the original distribution. Based on this formula, following Bismut approach of Malliavin calculus, we then give an integration by parts formula