Analyse et approximation de quelques équations différentielles stochastiques pour la modélisation de phénomènes non diffusifs : application au transport turbulent

Analysis and approximation of some stochastic differential equations for the modeling of non diffusive phenomenons : application to turbulent transport

• Auteur / Autrice : Paul Maurer
• Direction : Mireille Bossy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/11/2025
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Jacquier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mireille Bossy, Antoine Jacquier, Antoine Lejay, Benjamin Jourdain, Radomyra Shevchenko, Nicolas Fournier, Jérémie Bec
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Lejay, Benjamin Jourdain
• DOI : 10.70675/eacb31a7zb892z4de8zb5a4zb45cd0610705

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Équations de Volterra

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Turbulence

Modèles mathématiques

Mots clés libres

Schémas numériques d'EDS

EDS dirigées par une mesure aléatoire de Poisson

Processus de Volterra stochastiques

EDPS

Transport turbulent

Numerical schemes for SDEs

Poisson random measure driven SDEs

Stochastic Volterra processes

SPDEs

Turbulent transport

Résumé

Ce travail porte sur l'étude de différentes classes d'équations différentielles stochastiques (EDS) apparaissant dans des modèles de transport de particules — en particulier de fibres — dans un écoulement turbulent. Nous développons des méthodes d'approximation pour ces EDS et établissons des résultats de convergence associés. La première partie est consacrée aux EDS dirigées par une mesure de Poisson aléatoire. Nous généralisons le schéma numérique d'Asmussen-Rosiński, qui approxime les petits sauts par des variables gaussiennes, à un cadre non nécessairement dirigé par un processus de Lévy. Prolongeant les travaux de N. Fournier, nous montrons la convergence en norme Lp (vitesse 1/p) et en erreur faible (vitesse 1), et illustrons ces résultats par des simulations ainsi qu'une application à un modèle d'orientation de bâtonnets en turbulence. Nous démontrons ensuite une formule de type Alekseev-Gröbner pour comparer deux EDS à sauts, en construisant une intégrale de Poisson-Skorohod qui respecte la relation de Chasles. La seconde partie s'intéresse aux processus de Volterra intégrés. Nous établissons un résultat de comparaison en erreur faible, en fonction de la norme L1 de la différence de noyaux, qui permet de quantifier diverses approximations, en particulier l'approximation dite markovienne. La démonstration combine la formule d'Itô fonctionnelle de Viens-Zhang et la formule de Feynman-Kac dépendante de chemin de Bonesini-Jacquier-Pannier. Ces outils sont appliqués à la modélisation de l'intermittence turbulente via un noyau de type Riemann-Liouville, lorsque le paramètre de Hurst tend vers zéro. Enfin, nous introduisons une équation aux dérivées partielles stochastique (EDPS) décrivant la dynamique d'une fibre flexible dans un écoulement turbulent modélisé par le bruit de Kraichnan incompressible. Dans le cas simplifié d'une fibre rigide, nous prouvons existence et unicité de la solution, et montrons que l'EDPS est équivalente en loi à une EDS, établissant ainsi un lien avec la première partie.

This work focuses on the study of different classes of stochastic differential equations (SDEs) arising in models of particle transport - in particular fibers - in turbulent flows. We develop approximation methods for these SDEs and establish associated convergence results. The first part is devoted to SDEs driven by a random Poisson measure. We generalize the numerical scheme of Asmussen-Rosiński, which approximates small jumps by Gaussian random variables, to a framework not necessarily driven by Lévy processes. Building on the work of N. Fournier, we prove convergence in Lp norm (rate 1/p) and in weak error (rate 1), and illustrate these results with simulations and an application to the orientation of rods in turbulence. We then establish an Alekseev-Gröbner type formula to compare two jump SDEs, by constructing a Poisson-Skorohod integral that preserves the additivity property. The second part concerns integrated Volterra processes. We prove a weak error comparison result, in terms of the L1 norm of the difference between kernels, which allows us to quantify various approximations, in particular the so-called Markovian approximation. The proof combines the functional Itô formula from Viens-Zhang and the path-dependent Feynman-Kac formula from Bonesini-Jacquier-Pannier. These tools are applied to the modeling of turbulent intermittency via a Riemann-Liouville type kernel, when the Hurst parameter tends to zero. Finally, we introduce a stochastic partial differential equation (SPDE) describing the dynamics of a flexible fiber in a turbulent flow modeled by incompressible Kraichnan noise. In the simplified case of a rigid fiber, we prove existence and uniqueness of the solution, and show that the SPDE is equivalent in law to an SDE, thereby establishing a connection with the first part.