Contrôle stochastique de type champ moyen en horizon infini et approximation numérique des équations différentielles stochastiques rétrogrades en horizon infini

Mean-field infinite horizon stochastic control and numerical approximation of infinite horizon backward stochastic differential equations

• Auteur / Autrice : Charu Shardul
• Direction : Adrien Richou, Emmanuel Gobet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 14/05/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Marc Arnaudon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Céline Labart, Jean-François Chassagneux, Stéphane Crépey
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexandre, François, Roland Popier, Mohamed Mrad

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques rétrogrades

Théorie du champ moyen

Analyse stochastique

Mots clés libres

Contrôle stochastique

Contrôle de type champ moyen

Équations différentielles stochastiques rétrogrades

Optimisation de portefeuille

Stochastic control

Mean-Field control

Backward stochastic differential equations

Portfolio optimization

Résumé

Dans la première partie de la thèse, nous étudions un problème de contrôle stochastique de type champ moyen en horizon infini où la fonction de coût dépend de la loi du processus d'état. Nous prouvons les conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité qui exigent la L-différentiabilité et la L-convexité dans l'espace des mesures pour la fonction de coût instantanée. Ensuite, nous commençons par une application en optimisation de portefeuille du problème de contrôle de type champ moyen en horizon infini. L'objectif est de surperformer une allocation statique dans un portefeuille investi en actions et en actif sans risque en s'appuyant sur une allocation dynamique, en utilisant la vitesse de traitement des actifs comme contrôle avec un critère de minimisation du risque baissier de type champ moyen. Nous avons prouvé les conditions d'optimalité pour le problème de contrôle et établi l'existence et l'unicité de la solution du système couplé d'équations différentielles stochastiques progressives-rétrogrades de type McKean-Vlasov. Nous avons également développé un schéma numérique basé sur les réseaux de neurones pour résoudre une version tronquée dans le temps du problème et fourni des bornes exponentielles pour l'erreur de troncature. Les expériences numériques suggèrent qu'augmenter le multiplicateur du terme de champ moyen incline avec succès la distribution de richesse vers la droite, augmentant ainsi la probabilité d'obtenir une richesse relative plus élevée.Dans une seconde partie, nous étudions l'approximation numérique des équations différentielles stochastiques rétrogrades en horizon infini. Nous avons développé trois schémas numériques. Le premier schéma est basé sur une itération de Picard et utilise une approximation spatiale par grille. Le deuxième schéma est également basé sur un schéma de Picard mais utilise des réseaux de neurones. Le troisième schéma n'est pas basé sur une itération de Picard et repose sur des réseaux de neurones. Nous fournissons également une étude détaillée de l'erreur numérique pour le premier schéma et prouvons des bornes fines sur l'erreur d'approximation, nécessitant des hypothèses supplémentaires pour la contraction. Pour le deuxième schéma, nous prouvons la convergence de l'erreur d'approximation vers zéro lorsque la taille du réseau de neurones augmente. Les expérimentations numériques suggèrent que le troisième schéma est plus performant que les deux premiers lorsque la contraction n'est plus satisfaite.

In the first part of this thesis, we study a mean-field stochastic control problem in infinite horizon where the cost functional has dependence on the law of the state process. We prove the necessary and sufficient conditions of optimality which requires L-differentiability and L-convexity in the measure space for the running cost function. Then, we start with an application in portfolio optimization of this mean-field control problem in the infinite horizon. The goal is to outperform a static allocation of stocks and a risk-free asset by using dynamic allocation, using the trading speed of the assets as the control with a downside risk minimization criterion of mean-field type. We prove the conditions of optimality for the control problem and establish the existence and uniqueness of the solution to the corresponding system of coupled McKean-Vlasov forward-backward stochastic differential equations. We also develop a numerical scheme based on neural networks for solving a time-truncated version of the problem and provide exponential bounds for the truncation error. Numerical experiments suggest that increasing the multiplier of the mean-field term successfully skewed the wealth distribution towards right, increasing the probability of higher relative wealth.In a second part, we study numerical approximation of backward stochastic differential equations in infinite horizon. We develop three numerical schemes: The first scheme is based on a Picard procedure and uses grid approximation for the space; the second one is also based on a Picard procedure and uses neural networks; the third scheme does not rely on a Picard procedure and uses neural networks like the second one. We also provide a detailed study of the numerical error for the first scheme and prove tight bounds on the approximation error, requiring additional assumptions for contraction. For the second scheme, we proved the convergence of the approximation error to zero as the size of the neural network increases. Numerical experiments also suggest that the third scheme performs better than the first two schemes when the contraction is not fulfilled.