Équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits de Lévy : systèmes de particules en interaction de type champ moyen et processus de McKean-Vlasov

Lévy-driven stochastic differential equations : interacting particle systems of mean-field type and McKean-Vlasov processes

• Auteur / Autrice : Thomas Cavallazzi
• Direction : Mihai Gradinaru
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 23/06/2023
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Eva Löcherbach
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Bolley, Arnaud Guillin, Milica Tomasevic, Paul Éric Chaudru de Raynal
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Benjamin Jourdain, Arturo Kohatsu-Higa

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie du champ moyen

Lévy, Processus de

Équations différentielles stochastiques

Mots clés libres

Équations différentielles stochastiques

Processus de Lévy

Processus de McKean-Vlasov

Champ moyen

Propagation du chaos

Formule d’Itô le long d’un flot de mesures

Stochastic differential equations

Lévy processes

McKean-Vlasov processes

Mean-Field

Propagation of chaos

Ito’s formula along a flow of measures

Résumé

Cette thèse porte en grande partie sur l’étude des Équations Différentielles Stochastiques (EDS) non-linéaires au sens de McKean-Vlasov. Les bruits directeurs que nous considérons sont des processus de Lévy, en grande majorité des processus stables. On s’intéresse à quantifier la propagation du chaos au sens faible pour le système de particules en interaction de type champ moyen associé, sous des hypothèses höldériennes sur les coefficients. Cela se fait à travers l’étude du semigroupe, agissant sur les fonctions définies sur l’espace des mesures de probabilité, associé à l’EDS de McKean-Vlasov. En particulier, on exhibe des propriétés régularisantes du semigroupe, et on décrit sa dynamique grâce à la formule d’Itô le long d’un flot de mesures de probabilités. Cette formule est l’un des outils importants de cette thèse. Premièrement, on la prouve pour une grande classe de processus à sauts admettant un moment fini entre 0 et 2. Deuxièmement, on prouve, grâce à l’inégalité de Krylov, la formule d’Itô le long d’un flot de mesures pour des fonctions appartenant à un espace de type Sobolev. Dans la dernière partie de cette thèse, on s’intéresse à un système cinétique inhomogène en temps spécifique, qui est dirigé par un processus stable. On étudie son comportement asymptotique après changement d’échelle.

This thesis is mainly devoted to the study of nonlinear Stochastic Differential Equations (SDE), in the sense of McKean-Vlasov. The driving noises that we consider are Lévy processes, mostly stable processes. We are interested in quantifying the propagation of chaos, in the weak sense, for the associated mean-field interacting particle system, under Hölder assumptions on the coefficients. This is achieved through the study of the semigroup, acting on functions defined on the space of probability measures, associated with the McKean- Vlasov SDE. In particular, we exhibit regularizing properties of the semigroup, and we describe its dynamics thanks to Itô’s formula along a flow of probability measures. This formula is one of the crucial tools of this thesis. Firstly, we prove it for a large class of jump processes admitting a finite moment between 0 and 2. Secondly, we prove, relying on Krylov’s inequality, Itô’s formula along a flow of probability measures for functions belonging to a Sobolev-type space. In the last part of this thesis, we are interested in a specific time-inhomogenous kinetic system, which is driven by a stable process. We study its asymptotic behavior after rescaling.