Improved multi level Monte Carlo methods for pricing barrier options in finance

Méthodes de Monte Carlo multi-niveaux améliorées pour l'évaluation des options à barrière en finance

• Auteur / Autrice : Mouna Ben Derouich
• Direction : Ahmed Kebaier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/12/2023
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Aurélien Alfonsi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mohamed Mnif, Mohamed Mrad, Yueyun Hu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian R. Bayer, Caroline Hillairet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Processus gaussiens

Mots clés libres

Méthode Monte Carlo Multi-Niveaux

Modèle de Heston

Options barrières

Pont Brownien

Multilevel Monte Carlo method

Heston model

Barrier option

Brownian Bridge

Résumé

Dans cette thèse, nous démontrons que les techniques de "Multilevel Monte Carlo"(MLMC) peuvent être utilisées pour évaluer les prix des options barrières dans des modèles avec des coefficients de diffusion non nécessairement globalement Lipschitz. Dans la première partie, nous considérons un cadre général de modèles unidimensionnels avec des coefficients de diffusion qui ne sont pas nécessairement globalement lipschitziens. Nous introduisons ensuite un schéma d'Euler implicite interpolé pour lequel nous démontrons une convergence forte d'ordre un. Nous analysons également les trajectoires extrêmes du processus de diffusion et de son approximation, et prouvons que la méthode MLMC atteint son régime optimal en O(e-2) pour une précision donnée e. Nous appliquons ces résultats à l'évaluation des options barrières dans le modèle CIR et le modèle de volatilité locale CEV, et développons des formules semi-analytiques pour les densités du minimum et du maximum associés à ces deux processus. Dans la deuxième partie, nous étendons cette approche au problème plus complexe de l'évaluation des options barrières dans le modèle bidimensionnel log-Heston. Nous développons un schéma d'approximation permettant d'analyser la variance de la méthode MLMC combinée à des techniques de pont Brownien. Nous montrons que la méthode MLMC obtenue a une complexité d'ordre inférieur à une méthode de Monte Carlo classique, mais sans atteindre le régime optimal. Enfin, dans la dernière partie nous étudions l'efficacité de la méthode "Gaussian Process Regression"(GPR) pour calculer les prix et les sensibilités d'une option barrière "Down and Out" dans le modèle de Heston. Nous obtenons que la précision de la méthode GPR reste acceptable et fonctionne raisonnablement bien pour l'évaluation des options barrières. Nous développons ensuite des formules analytiques pour calculer les sensibilités Delta et Vega de l'option barrière "Down and Out" pour trois schémas d'approximation différents du modèle log-Heston. Ces procédures nous permettent de quantifier l'incertitude associée à l'utilisation de formules de calcul des sensibilités fournies automatiquement parla méthode GPR entraînée.

In this thesis, we demonstrate how Multi-Level Monte Carlo (MLMC) techniques canbe used to price barrier options for models possibly with non-globally Lipschitz diffusioncoefficients. In the first part, we consider a general framework of one-dimensional modelswith diffusion coefficients that are not necessarily globally Lipschitz. We then introducean interpolated implicit Euler scheme for which we prove a strong convergence resultof order one. We also analyse the extreme trajectories of the diffusion process and itsapproximation, and prove that the MLMC method reaches its optimal regime O(e-2) fora given total precision e. We apply these results to the pricing of barrier options in theImproved Multi Level Monte Carlo Methods for Pricing Barrier Options in Finance[3]CIR model and the CEV local volatility model, and develop semi-analytical formulasfor the densities of the running minimum and maximum of these two processes. In thesecond part, we extend this approach to the more challenging problem of pricing barrieroptions under the two-dimensional log-Heston model. We develop an approximationscheme allowing us to analyse the variance of the MLMC method when combined withBrownian bridge techniques. We show that the aforementioned MLMC method has alower order complexity than the standard Monte Carlo method, however it does not reachthe optimal regime. In the last part, we analyse the Gaussian Process Regression (GPR)method to calculate the prices and sensitivities of a Down and Out barrier option in thelog-Heston model. We show that the accuracy of the GPR method is acceptable andremains a reasonable approach for pricing Barrier options. We then develop analyticalformulae for computing the sensitivities Delta (?) and Vega (?) of the Down and Outbarrier option for different approximation schemes of the log-Heston model using the?Pathwise Monte Carlo? method. These procedures enable us to quantify the uncertaintyassociated with the use of sensitivity calculation formulae provided automatically by atrained GPR method.