Improved multi level Monte Carlo methods for pricing barrier options in finance
Auteur / Autrice : | Mouna Ben Derouich |
Direction : | Ahmed Kebaier |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 15/12/2023 |
Etablissement(s) : | Paris 13 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Jury : | Président / Présidente : Aurélien Alfonsi |
Examinateurs / Examinatrices : Mohamed Mnif, Mohamed Mrad, Yueyun Hu | |
Rapporteur / Rapporteuse : Christian R. Bayer, Caroline Hillairet |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Dans cette thèse, nous démontrons que les techniques de ''Multilevel Monte Carlo''(MLMC) peuvent être utilisées pour évaluer les prix des options barrières dans des modèles avec des coefficients de diffusion non nécessairement globalement Lipschitz. Dans la première partie, nous considérons un cadre général de modèles unidimensionnels avec des coefficients de diffusion qui ne sont pas nécessairement globalement lipschitziens. Nous introduisons ensuite un schéma d'Euler implicite interpolé pour lequel nous démontrons une convergence forte d'ordre un. Nous analysons également les trajectoires extrêmes du processus de diffusion et de son approximation, et prouvons que la méthode MLMC atteint son régime optimal en O(e-2) pour une précision donnée e. Nous appliquons ces résultats à l'évaluation des options barrières dans le modèle CIR et le modèle de volatilité locale CEV, et développons des formules semi-analytiques pour les densités du minimum et du maximum associés à ces deux processus. Dans la deuxième partie, nous étendons cette approche au problème plus complexe de l'évaluation des options barrières dans le modèle bidimensionnel log-Heston. Nous développons un schéma d'approximation permettant d'analyser la variance de la méthode MLMC combinée à des techniques de pont Brownien. Nous montrons que la méthode MLMC obtenue a une complexité d'ordre inférieur à une méthode de Monte Carlo classique, mais sans atteindre le régime optimal. Enfin, dans la dernière partie nous étudions l'efficacité de la méthode ''Gaussian Process Regression''(GPR) pour calculer les prix et les sensibilités d'une option barrière ''Down and Out'' dans le modèle de Heston. Nous obtenons que la précision de la méthode GPR reste acceptable et fonctionne raisonnablement bien pour l'évaluation des options barrières. Nous développons ensuite des formules analytiques pour calculer les sensibilités Delta et Vega de l'option barrière ''Down and Out'' pour trois schémas d'approximation différents du modèle log-Heston. Ces procédures nous permettent de quantifier l'incertitude associée à l'utilisation de formules de calcul des sensibilités fournies automatiquement parla méthode GPR entraînée.