Modèles avancés de volatilité implicite pour la gestion des risques et les Chambres de compensation

Advanced implied volatility modeling for risk management and central clearing

• Auteur / Autrice : Arianna Mingone
• Direction : Stefano De Marco, Claude Martini
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/11/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne) - Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique / CMAP
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Gobet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stefano De Marco, Claude Martini, Antoine Jacquier, Mike Tehranchi, Blanka Horvath
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Jacquier, Mike Tehranchi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse des mesures conjointes (marketing)

Options (finances)

Chambres de compensation

Mots clés libres

Gestion des risques

Dynamique des options

Chambres de compensation

Volatilité implicite

Absence d'arbitrage

Risk management

Central counterpart

Option dynamics

Implied volatility

No arbitrage

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, nous abordons la tâche non triviale de construire des surfaces de volatilité implicite sans arbitrage qui puissent être utilisées par les opérateurs de marché à des fins pratiques. Nous étudions en profondeur les contraintes d'arbitrage statique pour les portefeuilles d'options et nous les appliquons à des modèles de volatilité implicite connus. Tout d'abord, nous caractérisons complètement l'absence d'arbitrage Butterfly dans le modèle SVI de Gatheral, et nous étudions le cas de certains modèles sous-SVI à 3 paramètres, tels que le SVI symétrique, le SVI Vanishing Upward/Downward et le SSVI. Nous reconsidérons ensuite ce dernier modèle, étendu à plusieurs maturités, et nous combinons les conditions d'absence d'arbitrage Butterfly ainsi identifiées avec les conditions d'absence d'arbitrage Calendar Spread, déjà connues grâce à [Hendriks et Martini, The extended SSVI volatility surface, Journal of Comp Finance, 2019]. En conséquence, nous identifions un algorithme de calibration globale garantissant l'absence d'arbitrage pour le modèle eSSVI. Dans un second temps, nous étudions la caractérisation d'une notion plus faible d'absence d'arbitrage Butterfly (que nous baptisons "weak no arbitrage condition"), c'est-à-dire les deux conditions de monotonie des fonctions d_1 et d_2 de la formule de Black-Scholes, identifiées par [Fukasawa, The normalizing transformation of the implied volatility smile, Math Fin, 2012]. Nous nous placçons dans le cadre des smiles paramétrés en delta (suivant la convention typique sur les marchés de taux de change), et, comme résultat, nous caractérisons l'ensemble des smiles de volatilité satisfaisant cette condition faible de non arbitrage statique.Enfin, en nous basant sur la remarque -- simple mais, à notre connaissance, pas encore exploitée -- que les options Call peuvent être vues comme des Calls écrits sur d'autres Calls, nous étudions les propriétés dynamiques de ces contrats.Dans la deuxième partie, nous considérons le problème de la quantification du risque de contrepartie pour les portefeuilles d'options auquel les Chambres de compensation sont confrontées quotidiennement. Nous identifions une nouvelle formule model-free pour la VaR `a court terme des portefeuilles d'options qui montre d'avoir des meilleurs performances que celles de l'approche classique de la Filtered Historical Simulation dans nos tests numériques. Enfin, nous considérons la notion d'Expected Shortfall, dont nous comparons différents types de mesures de backtesting.

In the first part of this thesis we address the non trivial task of building arbitrage-free implied volatility surfaces which could be used by market operators for practical purposes. We study in depth static arbitrage constrains for option portfolios and apply them to notorious implied volatility models. We firstly fully characterize the absence of Butterfly arbitrage in the SVI model by Gatheral, and study the case of some 3-parameter sub-SVIs models, such as the Symmetric SVI, the Vanishing Upward/Downward SVI, and SSVI. We then reconsider the latter model, extended to multiple maturity slices, and combine the so identified conditions of no Butterfly arbitrage with the already known conditions of no Calendar Spread arbitrage by [Hendriks and Martini, The extended SSVI volatility surface, Journal of Comp Finance, 2019]. As a result, we identify a global calibration algorithm for the eSSVI model ensuring the absence of arbitrage.Secondly, we study the characterization of a weaker notion of absence of Butterfly arbitrage (which we call "weak no arbitrage condition"), i.e. the two monotonicity requirements of the functions d_1 and d_2 in the Black-Scholes formula, identified by [Fukasawa, The normalizing transformation of the implied volatility smile, Math Fin, 2012]. We consider the framework of smiles parameterized in delta (following the typical convention on FX markets), and, as a result, we characterize the set of volatility smiles satisfying this weak condition of no static arbitrage.Finally, based on the -- simple but, to our knowledge, not yet exploited -- remark that Call options can be seen as Calls written on other Calls, we study the dynamic properties of these contracts.In the second part, we consider the problem of quantifying the counterparty risk for option portfolios that Central Clearing Counterparties face daily. We identify a new model-free formula for the short-term VaR of option portfolios which performs better than the classical approach of Filtered Historical Simulation in our numerical tests. Finally, we look at the notion of Expected Shortfall, and compare different types of backtesting measures.