Thèse soutenue

Améliorer la régression à valeurs fonctionnelles avec des noyaux reproduisant rapidité, flexibilité et robustesse
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Auteur / Autrice : Dimitri Bouche
Direction : Florence d' Alché-BucMarianne Clausel
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique, données, IA: Mathématiques et Informatique
Date : Soutenance le 10/01/2023
Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....)
Etablissement opérateur d'inscription : Télécom Paris (Palaiseau ; 1977-....)
Jury : Président / Présidente : Gilles Gasso
Examinateurs / Examinatrices : Gilles Gasso, Hachem Kadri, Charles Bouveyron, Emilie Devijver, Massimiliano Pontil
Rapporteurs / Rapporteuses : Hachem Kadri, Charles Bouveyron

Mots clés

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Résumé

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L'augmentation du nombre et de la sophistication des appareils collectant des données permet de suivre l'évolution d'une multitude de phénomènes à des résolutions très fines. Cela étend le champ des applications possibles de l'apprentissage statistique. Un tel volume peut néanmoins devenir difficile à exploiter. Cependant quand leur nombre augmente, les données peuvent devenir redondantes. On peut alors chercher une représentation exploitant des propriétés du processus génératif. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur la représentation fonctionnelle. Bien sûr, les données sont toujours des mesures discrètes. Néanmoins, si nous pensons que ces suites doivent être par exemple lisses ou de variations bornées, une telle représentation peut être à la fois plus fidèle et de dimension plus faible. Nous nous concentrons sur les modèles non-linéaires de régression à valeurs fonctionnelles (FOR) en utilisant une extension des espaces de Hilbert à noyau reproduisant pour les fonctions à valeurs vectorielles (vv-RKHS) qui constitue la clef de voûte de plusieurs méthodes existantes. Notre objectif est d'en proposer de nouvelles plus performantes sur les plans de la complexité calculatoire liée au caractère fonctionnel et/ou celui du choix de la fonction de perte. Nous introduisons l'apprentissage de projection kernelisé (KPL) qui combine les vv-RKHSs et la représentation de signaux sur des dictionnaires. La perte demeure fonctionnelle, néanmoins le modèle prédit seulement un nombre fini de coordonnées. Nous bénéficions alors de la flexibilité de l'espace d'hypothèse tout en réduisant nettement la complexité liée aux sorties fonctionnelles. Pour la perte quadratique, nous introduisons deux estimateurs en forme close, l'un adapté lorsque les fonctions de sortie sont observées totalement, et l'autre lorsqu'elles ne le sont que partiellement. Nous montrons que chacun est consistant en termes d'excès de risque. Nous proposons aussi d'utiliser d'autres fonctions de perte différentiables, de combiner KPL avec les techniques de passage à l'échelle ou encore de sélectionner le dictionnaire via une pénalité structurée. Une autre partie est dédiée au problème de FOR dans des vv-RKHS de fonctions à valeurs fonctionnelles en utilisant une famille de fonctions de pertes que nous introduisons comme définies à partir d'une convolution infimale. Celles-ci peuvent encourager soit la parcimonie soit la robustesse, le degré de localité de ces propriétés étant contrôlé via un paramètre dédié. Grâce à leur structure, ces pertes se prêtent particulièrement bien à la résolution par dualité lagrangienne. Nous surmontons alors les différents défis que pose la dimension infinie des variables duales en proposant deux représentations pour résoudre le problème dual numériquement.