Quantification gloutonne : nouvelle approche et applications aux E.D.S rétrogrades réfléchies

Greedy quantization : new approach and applications to reflected backward S.D.E.

• Auteur / Autrice : Rancy El Nmeir
• Direction : Gilles Pagès, Rami El Haddad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/12/2020
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Université Saint-Joseph (Beyrouth)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Idris Kharroubi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gihane Mansour, Aurélie Fischer, Richard Aoun
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martino Grasselli, Antoine Lejay

Mots clés

Mots clés contrôlés

Irrégularités de distribution (théorie des nombres)

Convergence (mathématiques)

Équations différentielles stochastiques

Quantificateurs (logique mathématique)

Mots clés libres

Quantification optimale

Quantification gloutonne

Quantification récursive

Intégration numérique

Équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies

Évaluation des prix d’options

Algorithme de Lloyd

Optimal quantization

Greedy quantization

Recursive quantization

Numerical integration

Reflected Backward Stochastic Differential Equations

Option pricing

Lloyd algrorythm

Résumé

Dans la première partie, nous nous concentrons sur la quantification vectorielle gloutonne. Nous établissons de nouveaux résultats d’optimalité du taux de convergence pour une classe plus large de distributions, et nous réalisons une étude numérique approfondie apportant de nombreuses améliorations dans le domaine de l’intégration numérique basé sur la quantification gloutonne. Parmi ces études, nous présentons des propriétés numériques intéressantes des suites de quantification gloutonne leur permettant de constituer un adversaire avantageux vis-à-vis les suites utilisées dans d’autres méthodes d’intégration numérique. De plus, nous montrons que, lorsqu’une suite de quantification gloutonne Lr-optimale est dilatée ou contractée de manière appropriée, elle reste à taux de convergence Ls-optimal. Ceci est parfois conditionné par une hypothèse de moment sur la loi de probabilité sous-jacente. La deuxième partie de ce manuscrit est consacrée à l’approximation d’une équation différentielle stochastique rétrograde réfléchie par quantification vectorielle. Nous établissons d’abord des bornes supérieures de l’erreur dans Lp, p ∈ (1, 2+d), induite par la quantification récursive d’une chaîne de Markov générale d’une part, et par quantification récursive “hybride”, méthode introduite dans cette thèse, d’autre part. Ensuite, nous établissons des bornes d’erreur dans Lp, p ∈ (1, 2+d), pour le schéma de discrétisation spatiale basé sur la quantification et correspondant à l’E.D.S. rétrograde réfléchie. Cette méthode est utilisée pour évaluer les options financières et illustrée dans plusieurs exemples. Nous utilisons aussi cette technique pour l’évaluation du prix des options barrière.

In the first part, we focus on greedy vector quantization. We establish new rate optimality results for a larger class of distributions, and carry out an extensive numerical study bringing many improvements in the greedy quantization-based numerical integration field. Among these studies, we present interesting numerical properties of greedy quantization sequences allowing them to become an advantageous component compared to sequences used in other numerical integration methods, like the low discrepancy sequences in the quasi-Monte Carlo method for example. Furthermore, we show that, when an Ls-optimal greedy quantization sequence is dilated or contracted in an appropriate way, it remains Lr-rate optimal. This is sometimes conditioned by a certain moment assumption on the underlying probability distribution. The second part of this manuscript is devoted to the approximation of a reflected Backward Stochastic Differential Equation by vector quantization. First, we establish upper bounds for the -error, Lp, p ∈ (1, 2+d), induced by recursive quantization of a general Markov chain one the one hand, and by “hybrid” recursive quantization, a method introduced in this thesis, on the other hand. Then, we establish -error bounds, Lp, p ∈ (1, 2+d), for the quantization-based space discretization scheme corresponding to the RBSDE. This is used for pricing financial options, mainly American options, and illustrated in several examples where we compare the behavior of recursive quantization versus greedy quantization in terms of precision and time cost. We use this discretization technique for the pricing of Barrier options as well.