Convergence de lois a posteriori Spike and Slab bayésiennes dans des modèles de grande dimension

Convergence et spike and Slab Bayesian posterior distributions in some high dimensional models

• Auteur / Autrice : Romain Mismer
• Direction : Ismaël Castillo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Statistiques
• Date : Soutenance le 12/06/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Boucheron
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ismaël Castillo, Stéphane Boucheron, Aad W. van der Vaart, Vincent Rivoirard, Cristina Butucea, Pierre Alquier, Julyan Arbel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Aad W. van der Vaart, Vincent Rivoirard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Loi binomiale négative

Statistique bayésienne

Mots clés libres

Bayésien non paramétrique

A priori Spike and Slab

Arbre de Polya

Théorèmes Bernstein-von Mises

Bayesian nonparametrics

Spike and slab prior

Polya tree

Bernstein-von Mises theorems

Résumé

On s'intéresse d'abord au modèle de suite gaussienne parcimonieuse. Une approche bayésienne empirique sur l'a priori Spike and Slab permet d'obtenir la convergence à vitesse minimax du moment d'ordre 2 a posteriori pour des Slabs Cauchy et on prouve un résultat de sous-optimalité pour un Slab Laplace. Un meilleur choix de Slab permet d'obtenir la constante exacte. Dans le modèle d'estimation de densité, un a priori arbre de Polya tel que les variables de l'arbre ont une distribution de type Spike and Slab donne la convergence à vitesse minimax et adaptative pour la norme sup de la loi a posteriori et un théorème Bernstein-von Mises non paramétrique.

The first main focus is the sparse Gaussian sequence model. An Empirical Bayes approach is used on the Spike and Slab prior to derive minimax convergence of the posterior second moment for Cauchy Slabs and a suboptimality result for the Laplace Slab is proved. Next, with a special choice of Slab convergence with the sharp minimax constant is derived. The second main focus is the density estimation model using a special Polya tree prior where the variables in the tree construction follow a Spike and Slab type distribution. Adaptive minimax convergence in the supremum norm of the posterior distribution as well as a nonparametric Bernstein-von Mises theorem are obtained