Accélération de la méthode de Monte Carlo pour des processus de diffusions et applications en Finance

Improved Monte Carlo method for diffusion processes and applications in Finance

• Auteur / Autrice : Kaouther Hajji
• Direction : Ahmed Kebaier, Mohamed Ben Alaya
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/12/2014
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse-Géométrie et Applications / LAGA
• Jury : Président / Présidente : Gilles Pagès
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Stéphane Dhersin, Gersende Fort, Yueyun Hu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Denis Talay, Bernard Lapeyre

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lévy, Processus de

Théorème de la limite centrale

Monte-Carlo, Méthode de

Processus stochastiques

Algorithmes

Mots clés libres

Mathématiques financières

Robbins-Monro

Schéma d'Euler

Modèle de Heston

Transformation d'Esscher

Financial mathematics

Robbins-Monro

Euler scheme

Heston model

Esscher transform

Résumé

Dans cette thèse, on s’intéresse à la combinaison des méthodes de réduction de variance et de réduction de la complexité de la méthode Monte Carlo. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons un modèle de diffusion continu pour lequel on construit un algorithme adaptatif en appliquant l’importance sampling à la méthode de Romberg Statistique Nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller pour cet algorithme. Dans ce même cadre et dans le même esprit, on applique l’importance sampling à la méthode de Multilevel Monte Carlo et on démontre également un théorème central limite pour l’algorithme adaptatif obtenu. Dans la deuxième partie de cette thèse,on développe le même type d’algorithme pour un modèle non continu à savoir les processus de Lévy. De même, nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller. Des illustrations numériques ont été menées pour les différents algorithmes obtenus dans les deux cadres avec sauts et sans sauts.

In this thesis, we are interested in studying the combination of variance reduction methods and complexity improvement of the Monte Carlo method. In the first part of this thesis,we consider a continuous diffusion model for which we construct an adaptive algorithm by applying importance sampling to Statistical Romberg method. Then, we prove a central limit theorem of Lindeberg-Feller type for this algorithm. In the same setting and in the same spirit, we apply the importance sampling to the Multilevel Monte Carlo method. We also prove a central limit theorem for the obtained adaptive algorithm. In the second part of this thesis, we develop the same type of adaptive algorithm for a discontinuous model namely the Lévy processes and we prove the associated central limit theorem. Numerical simulations are processed for the different obtained algorithms in both settings with and without jumps.