Analyse de la synchronisation dans un réseau complexe des oscillateurs non-linéaires

Synchronization analysis of complex networks of nonlinear oscillators

• Auteur / Autrice : Ali El Ati
• Direction : Antonio Loría
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Génie informatique, automatique et traitement du signal
• Date : Soutenance le 04/12/2014
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences et Technologies de l'Information, des Télécommunications et des Systèmes (Orsay, Essonne ; 2000-2015)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire des signaux et systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 1974-....)
• Jury : Président / Présidente : Luca Zaccarian
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Antonio Loría, Luca Zaccarian, Alexander Pogromsky, Jean-Pierre Barbot, William Pasillas-Lépine, Elena Panteley
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Pogromsky, Jean-Pierre Barbot

Mots clés

Mots clés contrôlés

Oscillations non linéaires

Liapounov, Stabilité de

Dynamique non-linéaire

Mots clés libres

Synchronisation

Réseau d'oscillateurs non-linéaires

Modèle de Kuramoto

Équation de Stuart-Landau

Interactions attractives et répulsives

Stabilité pratique

Synchronization

Network of nonlinear systems

Kuramoto model

Stuart-Landau equation

Attractive and repulsive interactions

Practical stability

Résumé

Cette thèse porte sur l'analyse de la synchronisation des grands réseaux d'oscillateurs non linéaires et hétérogènes à l'aide d'outils et de méthodes issues de la théorie du contrôle. Nous considérons deux modèles de réseaux; à savoir, le modèle de Kuramoto qui considère seulement les coordonnées de phase des oscillateurs et des réseaux composés d'oscillateurs non linéaires de Stuart-Landau connectés par un couplage linéaire.Pour le modèle de Kuramoto nous construisons un système linéaire qui conserve les informations sur les fréquences naturelles et sur les gains d'interconnexion du modèle original de Kuramoto. Nous montrons en suite que l'existence de solutions à verrouillage de phase du modèle de Kuramoto est équivalente à l'existence d'un tel système linéaire avec certaines propriétés. Ce système est utilisé pour formuler les conditions d'existence de solutions à verrouillage de phase et de leur stabilité pour des structures particulières de l'interconnexion. Ensuite, cette analyse s'est étendue au cas où des interactions attractives et répulsives sont présentes dans le réseau. Nous considérons cette situation lorsque les gains d'interconnexion peuvent être à la fois positif et négatif. Dans le cadre de réseaux d'oscillateurs de Stuart-Landau, nous présentons une nouvelle transformation de coordonnées du réseau qui permet de réécrire le modèle du réseau en deux parties: une décrivant le comportement de l'oscillateur « moyenne » du réseau et la seconde partie présentant les dynamiques des erreurs de synchronisation par rapport à cet oscillateur « moyenne ». Cette transformation nous permet de caractériser les propriétés du réseau en termes de la stabilité des erreurs de synchronisation et du cycle limite de l'oscillateur « moyenne ». Pour ce faire, nous reformulons ce problème en un problème de stabilité de deux ensembles compacts et nous utilisons des outils issus de la stabilité de Lyapunov pour montrer la stabilité pratique de ces derniers pour des valeurs suffisamment grandes du gain d'interconnexion.

This thesis is devoted to the analysis of synchronization in large networks of heterogeneous nonlinear oscillators using tools and methods issued from control theory. We consider two models of networks; namely, the Kuramoto model which takes into account only phase coordinates of the oscillators and networks composed of nonlinear Stuart-Landau oscillators interconnected by linear coupling. For the Kuramoto model we construct an auxiliary linear system that preserves information on the natural frequencies and interconnection gains of the original Kuramoto model. We show next that existence of phase locked solutions of the Kuramoto model is equivalent to the existence of such a linear system with certain properties. This system is used to formulate conditions that ensure existence of phase-locked solutions and their stability for particular structures of network interconnections. Next, this analysis is extended to the case where both attractive and repulsive interactions are present in the network that is we consider the situation where some of the interconnection gains are allowed to be negative. In the context of networks of Stuart-Landau oscillators, we present a new coordinate transformation of the network which allows to split the network model into two parts, one describing behaviour of an ''averaged'' network oscillator and the second one, describing dynamics of the synchronization errors relative to this ''averaged'' oscillator. This transformation allows us to characterize properties of the network in terms of stability of synchronization errors and limit cycle of the ''averaged'' oscillator. To do so, we recast this problem as a problem of stability of compact sets and use Lyapunov stability tools to ensure practical stability of both sets for sufficiently large values of the coupling strength.