Classification des algèbres de Lie sous-riemanniennes et intégrabilité des équations géodésiques associées.

Classification of sub-Riemannian Lie algebras and integrability of associated geodesics equations

• Auteur / Autrice : Khaled Dahamna
• Direction : Witold Respondek, Rachida El Assoudi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées. Géométrie et contrôle optimal
• Date : Soutenance le 23/09/2011
• Etablissement(s) : Rouen, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences physiques mathématiques et de l'information pour l'ingénieur (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; ....-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de l'INSA Rouen Normandie (Saint Etienne du Rouvray, Seine-Maritime ; 1987-....)
• Jury : Président / Présidente : Erik Lenglart
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Andrzej J. Maciejewski
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean-Paul André Gauthier, Emmanuel Trélat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géodésiques (mathématiques)

Groupes de Lie nilpotents

classification

Lie, Algèbres de

Mots clés libres

Groupes de Lie

Algèbres de Lie

Contact

Classification

Sous-riemannien

Géodésiques

Intégrabilité

Lie groups

Lie algebras

Sub-Riemannian

Geodesics

Lie-Poisson

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une. De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension 2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass.

In this thesis, we are interested first in the sub-Riemannian problems on 2-step nilpotent Lie groups. We start by obtaining a complete classification of 2-step nilpotent sub-Riemannian Lie algebras (SR-Lie algebras) of dimension n between 3 and 7, and those of arbitrary dimension n such that the derivated algebra is of dimension one. In addition, we characterize the contact and quasi contact SR-Lie algebras and we calculate, in dimension 5, the group of SR-infinitesimal symmetries. Having presented that classification, we study the sub-Riemannian geodesics associated with the 2 step nilpotent SR-Lie algebras obtained in our classification. We study the integrability of the adjoint geodesic equations and we give the optimal controls and optimal trajectories in each case. In the second part of the thesis, we study the sub-Riemannian geodesics for a sub-RiemannianLie group (G;D;B) where G = SO(4) or G = SO(2; 2) and D is of codimension 2 (giving contactSR-homogeneous spaces). We give canonical models of these spaces and then show that the Lie-Poisson adjoint systems associated with the models are always integrable in the Liouville sense. More over, we show that the Lie-Poisson system is either a linear system which is super-integrable with the help of trigonometric functions of time (or constant ones) or a non-linear system which is integrable in the Liouville sense and whose solutions can be expressed using the Weierstrass elliptic function.