Analyse numérique des options américaines dans un modèle de diffusion avec des sauts

Numerical analysis of american options in a jump-diffusion model

• Auteur / Autrice : Xiaolan Zhang
• Direction : Damien Lamberton
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Jury : Président / Présidente : Nicole El Karoui
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Lapeyre, Agnès Sulem
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guy Barles, Denis Talay

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Informatique

Finances

Mots clés libres

Processus diffusion

Processus saut

Formation prix

Inégalité variationnelle

Discrétisation

Arrêt optimal

Convergence forte

Option américaine

Option financière

Cd

Equation Black Scholes

Finance

Diffusion process

Jump process

Pricing

Variational inequality

Discretization

Optimal stopping

Strong convergence

Financial option

Cd

Black Scholes equation

Résumé

Le but principal de cette thèse est de traiter l'évaluation des options américaines dans un modèle de diffusion avec des sauts et de développer les méthodes numériques permettant de calculer des prix. Elle comprend d'abord une présentation de ce modèle et des discussions des formules de prix. Puis une formule quasi-explicite d'évaluation du prix dans le cas où l'échéance est infinie (i. E. : « put perpétuel ») est établie. Le chapitre 3 et le chapitre 4 présentent une méthode de calcul du prix du put américain fondée sur les inéquations variationnelles (I. V. ). Nous montrons que le prix de l'option américaine coïncide avec la solution d'une I. V. Nous nous intéressons aux problèmes de l'existence, de l'unicité et des propriétés de régularité de la solution de l'I. V. Nous étudions ensuite l'approximation de la solution de l'I. V. En localisant le problème, nous nous ramenons à une I. V. Définie dans un intervalle borné de R, qui est ensuite discrétisée par la méthode des différences finies. Dans un cadre général, R. Glowinsky, J. L. Lions et R. Trémolières ont étudié les schémas de discrétisation des inéquations variationnelles et montré des théorèmes de convergence sous une hypothèse de coercivité assez forte. Cette hypothèse n'est pas vérifiée dans notre problème et le principal résultat de ce chapitre est un théorème de convergence forte, qui semble nouveau, même dans le cas d'un modèle sans sauts. Dans le chapitre 5, nous proposons des formules approchées quasi-explicites s'inspirant de travaux sur le modèle de Black-Scholes. Dans un premier temps, nous généralisons la méthode de Mac Millan, puis nous donnons une formule exprimant le prix du put américain à l'aide du prix critique. Enfin, le dernier chapitre présente les courbes de volatilité, les algorithmes de résolution du problème discrétisé, l'implémentation des méthodes d'approximation et des résultats numériques.

The aim of this thesis is to deal with the problem of American option pricing in a jump-diffusion model and to develop some numerial mthods which allow us to calculate the price. Its first part consists of a presentation of this model and some discussions about the price formulas. Then a quasi-explicit formula for the prices of American option with infinite maturity has been established. The third and fourth chapters present a method to calculate the price of an American option with the help of the variational inequality (V. I. ). We chow that the price of an American option is the solution of a variational inequality. We are interested in the problem of existence, uniqueness and some regularities of the variational inequality’s solution. Then we study the approximation of the solution of V. I. In a general case, R. Glowinsky, J. L. Lions and R. Trémolières have studied the approximation schemes for variational inequalities and have proved the convergence theorem under a coercive hypothesis which is rather strong. This hypothesis is not satisfied in our case and the principal result in this chapter is a strong convergence theorem, which seems new even in the model without jumps. In the fifth chapter, we propose two quasi-expliit formulas for the price of American options with finite maturity in this model. At first, we generalize the Mac Millan method. And then we give an aproximated formula for the America put’s value with the help of the critical price. At the last chapter, we present some volatility curves, some algorithms of resolution for the discretized problem, and implementation of the approximation methods. We give also some numerical results.