Inférence dans le modèle quantique utilisant des mesure ''gentle

Inference in the quantum model using gentle measurements

• Auteur / Autrice : Henning Stein
• Direction : Cristina Butucea, Jan Johannes
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 17/04/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris en cotutelle avec Ruprecht-Karls Universität Heidelberg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CREST - Centre de recherche en économie et statistique

Mots clés

Mots clés libres

Statistique

Quantum

Inférence

Gentle

Statistics

Quantum

Inference

Gentle

Résumé

La mécanique quantique formalise mathematiquement la physique de systèmes quantiques. Un tel system et son état sont décrits par un espace de Hilbert complexe et un opérateur de densité respectivement. Un opérateur de densité est un opérateur positif et normalisé qui contient toutes les propriétés statistiques de l‘état. Le système ne peut être observé qu‘en performant une mesure, un processus qui change radicalement l‘état du système en le réduisant à un résultat parmi beaucoup d'autres. Aaronson et Rothblum (2019) ont introduit une classe de mesures qui s‘appellent des mesures „gentle“ et qui limitent la réduction de l‘état en imposant une borne sur le changement entre l'état avant et après la mesure en norme de trace. Vu que des mesures sont la seule possibilité d‘accéder et manipuler des informations d‘états dans des ordinateurs quantiques il est très important de développer des algorithmes quantiques sous la contrainte de „gentleness“. Aaronson et Rothblum (2019) ont montré une connexion entre „gentleness“ et le problème plus connu de la confidentialité différentielle. Le but de notre projet est de mieux comprendre les mesures „gentle“ agissant soit globalement soit localement sur chaque registre, et s‘ils agissent localement distinguer les cas ou ils agissent independamment où utiliser d‘informations préalables des autres registres. Dans le context de la „quantum information“, du „quantum learning“ et du „quantum computing“ il est crucial de construire des mesures „gentle“ qui fournissent le plus d‘informations sur l‘état. Notre projet vise a quantifier ces phénomènes d‘une façon constructive et de les étendre afin de resoudre des problèmes de l‘inférence ou de la „machine learning“ sous la contrainte d‘utiliser des mesures „gentle“.

Quantum mechanics formalize mathematically the physics of quantum systems. Such a system and its state are described by a complex Hilbert space and a density operator on that Hilbert space respectively. A density operator is a positive, normalized operator that contains the statistical properties of the state. The system can only be observed by performing a measurement, a process that radically changes the state of the system by collapsing it into one of many possible outcomes. Aaronson and Rothblum (2019) introduced a class of measurements, so-called gentle measurements, that limit the collapse of the state by imposing a bound on how much the post-measurement state should differ from the original one in trace-distance. As measurements are the only way to access and manipulate information about states in quantum computers it is of great interest to devise quantum algorithms under the constraint of gentleness. Aaronson and Rothblum (2019) also showed a connection between gentleness and the more studied problem of differential privacy. Our project is to give deeper understanding on gentle measurements that act either globally or locally on each register, and when they act locally distinguish the cases when they act independently or use prior information gathered on other registers. In the context of quantum information, quantum learning and quantum computing it is crucial to build gentle measurements that provide the most information on the underlying state. Our project aims at quantifying these phenomena in a constructive way and to extend them in order to solve inference or machine learning problems under the constraints of using gentle measurements.