Etude de la transposition didactique du concept d'idéal : écologie des savoirs et problématique de l'entrée dans la pensée structuraliste, en France et en Suisse romande

Study of the didactic transposition of the ideal concept : ecology of bodies of knowledge and the issue of the entry into structuralist thinking, in France and in Switzerland

• Auteur / Autrice : Julie Candy
• Direction : Thomas Hausberger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 08/12/2020
• Etablissement(s) : Montpellier
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Luc Dorier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Floriane Wozniak, Viviane Durand-Guerrier, Ghislaine Gueudet
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marianna Bosch, Carl Winsløw

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie anthropologique du didactique

Mathématiques -- Philosophie

Mathématiques -- Étude et enseignement

Mots clés libres

Didactique des mathématiques

Épistémologie des mathématiques

Idéal d'un anneau

Théorie anthropologique du didactique

Transposition didactique

Praxéologies structuralistes

Didactics of mathematics

Epistemology of mathematics

Ideal of a ring

Anthropological theory of the didactic

Didactic transposition

Structuralist praxeologies

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans le champ de la didactique des mathématiques universitaires et a pour but l’étude de la transposition didactique du concept d’idéal. Ce concept mathématique est enseigné en algèbre abstraite au niveau du Bachelor (la Licence en France). Son enseignement coïncide avec l’entrée dans l’algèbre structuraliste pour les étudiant·e·s, laquelle s'accompagne d'importantes difficultés dans les apprentissages. Cette étude, menée entre la France et la Suisse dans des institutions de niveau Bachelor, a ainsi pour objectif d’étudier l’enseignement de ce concept et, à travers celui-ci, la manière dont l’entrée dans l’algèbre structuraliste est prise en charge par les institutions et leurs professeur·e·s. Pour ce faire, nous avons d’abord conduit une analyse épistémologique mettant en lumière le rôle de ce concept dans la construction de l’algèbre structuraliste, en lien avec son caractère formalisateur, unificateur, généralisateur et simplificateur. Nous avons ensuite choisi d'entreprendre des études de cas couvrant les différentes institutions que traversent l'étudiant, dans son apprentissage du concept d'idéal. Notre corpus de données est ainsi constitué du matériel pédagogique et des interviews de neuf professeurs : deux enseignants en classes préparatoires aux grandes écoles en France, deux en deuxième année de licence en France, trois en troisième année de licence en France et deux en première et deuxième année de Bachelor en Suisse. Pour mener nos analyses, nous nous plaçons dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique. L’analyse des interviews permet de caractériser les rapports personnels des enseignants au regard des différents rapports institutionnels auxquels ils sont soumis et des caractéristiques épistémologiques du concept. Ces analyses nous permettent également d’obtenir des descriptions des processus de transposition didactique (externes et internes) ainsi que des contraintes qui pèsent sur ces derniers, classifiées selon les différents niveaux de l'échelle de co-détermination didactique. L’effet de ces contraintes sur le développement des organisations mathématiques et didactiques est étudié grâce à des analyses praxéologiques mobilisant la notion de praxéologie structuraliste introduite par Hausberger (2018), conjointement avec d'autres outils (dialectique objets-structures, niveaux structuralistes et transitions de type 1 et 2). Ces dernières mènent à la construction de modèles praxéologiques de référence par enseignant et par institution. Ces modèles nous permettent la comparaison des choix de transposition didactique en lien avec la problématique de l'entrée dans l'algèbre structuraliste, la caractérisation de l'écologie des organisations mathématiques que nous nous efforcerons de mettre en relation avec les contraintes relevées, enfin l’étude des transitions entre les différentes institutions.

This thesis falls within the field of didactics of university mathematics and aims at studying the didactic transposition of the concept of ideal. This mathematical concept is taught in abstract algebra at the Bachelor's level (the Licence in France). Its teaching coincides with the entry into structuralist algebra for students, which is accompanied by significant difficulties in learning. This study, carried out between France and Switzerland in institutions at the Bachelor level, aims to study the teaching of this concept and, through it, the way in which the entry into structural algebra is handled by the institutions and their teachers. To do this, we first conducted an epistemological analysis highlighting the role of this concept in the construction of structuralist algebra, in relation to its formalizing, unifying, generalizing and simplifying character. We then chose to undertake case studies covering the different institutions that the student goes through, in his learning of the concept of ideal. Our corpus of data is thus made up of pedagogical material and interviews with nine professors: two teachers in preparatory classes for the grandes écoles in France, two in the second year of a Bachelor's degree in France, three in the third year of a Bachelor's degree in France, and two in the first and second year of a Bachelor's degree in Switzerland. To conduct our analyses, we place ourselves within the framework of the anthropological theory of didactics. The analysis of the interviews allows us to characterize the personal relationships of the teachers with regard to the different institutional relationships to which they are subject and the epistemological characteristics of the concept. These analyses also allow us to obtain descriptions of the processes of didactic transposition (external and internal) as well as the constraints that weigh on them, classified according to the different levels of the didactic co-determination scale. The effect of these constraints on the development of mathematical and didactic organizations is studied through praxeological analyses mobilizing the notion of structuralist praxeology introduced by Hausberger (2018), together with other tools (object-structure dialectic, structuralist levels and type 1 and 2 transitions). The latter lead to the construction of praxeological reference models per teacher and per institution. These models allow us to compare the choices of didactic transposition in relation to the problem of entry into structuralist algebra, the characterization of the ecology of mathematical organizations which we will try to relate to the constraints identified, and finally the study of transitions between different institutions.