Comportement en temps long de différent processus stochastiques en neuroscience

by Laetitia Colombani

Doctoral thesis in Mathématiques appliquées

Under the supervision of Patrick Cattiaux and Manon Costa.

defended on 04-07-2022

in Toulouse 3 , under the authority of École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse) , in a partnership with Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....) (laboratoire) .

Thesis committee President: Gersende Fort.

Thesis committee members: Christophe Poquet.

Examiners: Eva Löcherbach, François Bolley.

keywords

• Long-time behaviour
• Hawkes Processes
• Delayed processes
• Mean-field theory
• Stochastic FitzHugh-Nagumo
• Propagation of chaos

Alternative Title

On asymptotic behaviour of stochastic processes on neuroscience

Abstract

In this thesis, we focus on two stochastic models which can be applied to neuroscience : Hawkes model and FitzHugh-Nagumo model. We study their long-time behavior. The first chapter deals with cumulative processes, which are a larger processes class than renewal processes. These processes accumulate independent random variables over time. These random variables are added on time intervals given by a renewal process. Inspired by the work of Lefevere, Mariani and Zambotti (2011), we prove a Large Deviations Principle for these processes, and large deviations inequalities in a more general framework. The second chapter is dedicated to Hawkes processes, in a non-linear context, with a signed reproduction function. They model self-excitation and self-inhibition. We prove a law of large numbers, a central limit theorem and large deviations results for a unique Hawkes process. These results lie on a renewal structure for these processes introduced by Costa, Graham, Marsalle and Tran (2020), which leads to a comparison with cumulative processes. Thus, we use known results for cumulative processes and results obtained in Chapter 1. We also exhibit two examples with explicit computations. The last chapter is a joint work with Pierre Le Bris and is devoted to the study of stochastic FitzHugh-Nagumo processes in interaction. The specificity of this model, described by Stochastic Differential Equations, is its cubic term in the drift which is non-Lipschitz. We focus on mean-field interactions and we prove a propagation of chaos, non-uniform in time first, and then a uniform in time one. To do so, we use a combined coupling method, i.e. a synchronous coupling on a specific subspace and an antithetic coupling on the complementary subspace. We also exhibit explicit bounds for these results.

keywords

• Comportement en temps long
• Processus de Hawkes
• Processus avec retard
• Champ moyen
• FitzHugh-Nagumo stochastique
• Propagation du chaos
• Processus stochastiques
• Neurosciences

Abstract

Dans cette thèse, nous nous concentrons sur deux modèles stochastiques pouvant être appliqués aux neurosciences : le modèle de Hawkes et le modèle de FitzHugh-Nagumo. Nous étudions leur comportement en temps long. Le premier chapitre porte sur les processus cumulatifs, qui sont une classe de processus plus généraux que les processus de renouvellement. Ces processus cumulent des variables aléatoires indépendantes au cours du temps. Ces variables aléatoires sont ajoutées sur des intervalles de temps donnés par un processus de renouvellement. En nous inspirant des travaux de Lefevere, Mariani et Zambotti (2011), nous démontrons un Principe de Grandes Déviations de ces processus, ainsi que des inégalités de grandes déviations dans un cadre plus général. Le second chapitre est dédié aux processus de Hawkes, dans un contexte non linéaire, avec une fonction de reproduction signée. Ils permettent ainsi de modéliser de l'auto-excitation et de l'auto-inhibition. Nous prouvons une loi des grandes nombres, un théorème central limite et des résultats de grandes déviations pour un processus de Hawkes (unique). Ces résultats reposent sur une structure de renouvellement pour ces processus, introduite par Costa, Graham, Marsalle et Tran (2020), qui permettent de définir les processus de Hawkes comme des processus cumulatifs. Nous utilisons alors des résultats déjà connus pour les processus cumulatifs et les résultats obtenus dans le chapitre 1. Nous exhibons également deux exemples dans lesquels des calculs explicites sont faits. Le dernier chapitre est un travail effectué en collaboration avec Pierre Le Bris et est consacré à l'étude de plusieurs processus de FitzHugh-Nagumo stochastiques en interaction. La spécificité de ce modèle défini par des Equations Différentielles Stochastiques est son terme cubique dans la dérive, qui est donc non-Lipschitz. Nous nous intéressons au cadre d'interactions champ moyen, et nous montrons une propagation du chaos, d'abord non-uniforme en temps puis uniforme en temps. Pour ce faire, nous utilisons une méthode de couplage mixte, c'est-à-dire un couplage synchrone sur un certain sous-espace et un couplage symétrique sur l'espace complémentaire. Nous exhibons également des bornes explicites pour ces résultats.