Petites solutions d'equations d'ondes quasi-lineaires en dimension deux d'espace

• Auteur / Autrice : RADHOUANE LADHARI
• Direction : Serge Alinhac
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Cette these est consacree a l'etude des equations des ondes quasi-lineaires en dimension deux d'espace, avec des donnees de cauchy de petite taille et a support compact. Ce travail est constitue de quatre chapitres. Au premier chapitre, on se propose de determiner le developpement asymptotique du temps de vie de la solution classique, dans le cas ou l'equation est vraiment non lineaire. On calcule les quatre premiers termes du temps de vie et du lieu d'explosion asymptotiques. Dans le second chapitre nous etudions le comportement asymptotique de la solution de l'equation des ondes inhomogene ou le second membre est une fonction g(t,x) reguliere, supportees dans |x| m + t (m > 0) et possede une decroissance arbitraire en temps grand. Nous demontrons sous certaines conditions sur g, que la solution ressemble a une solution libre. De plus on obtient, pour la solution, des estimations meilleures que celles apportees par les inegalites d'energie et de klainerman. Les troisiemes et quatriemes chapitres concernent l'etude d'equations verifiant la condition nulle de klainerman. Au chapitre iii, on construit, par des procedes d'approximation qualifies d'optique geometrique non lineaire, une solution approchee tres precise de l'equation et qui eclate en temps fini. Dans le cas invariant par rotation, nous demontrons, au chapitre iv, l'existence de la vraie solution, jusqu'au temps de vie de la solution approchee. De plus et dans le cas ou l'equation verifie une certaine seconde condition nulle, nous demontrons l'existence globale de la solution.