Méthodes de contrôle optimal pour le risque systémique

Optimal control methods for systemic risk

• Auteur / Autrice : Leila Bassou
• Direction : Nizar Touzi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 27/06/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CMAP - Centre de Mathématiques appliquées - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique / CMAP
• Jury : Président / Présidente : Caroline Hillairet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nizar Touzi, Aurélien Alfonsi, Claudio Fontana, Anis Matoussi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Aurélien Alfonsi, Claudio Fontana

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique bayésienne

Théorie des jeux

Modèles stochastiques

Mots clés libres

Jeux différentiels stochastiques

Équilibres de Nash

Jeux à champ moyen

Bruit commun

Non–arbitrage

Stochastic differential games

Nash equilibria

Mean-Field games

Common noise

No–arbitrage

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des équilibres de Nash du jeu de détentions mutuelles dans différents cadres. Le modèle correspondant, qui a été introduit par M-F. Djete & N. Touzi en 2020, vise à capturer l'interdépendance entre différents agents économiques en tenant compte à la fois des détentions mutuelles de parts entre les entités et de leurs revenus qui peuvent être corrélés.- Dans la première partie, on a étudié le jeu à population finie dans le cadre du critère d'utilité exponentielle. Dans les cas statiques et dynamiques sous une dynamique de type Bachelier gaussienne, on obtient une caractérisation complète des équilibres de Nash et de leurs conditions d'existence.- La deuxième partie est dédiée à l'analyse du jeu à champ moyen avec bruit commun (les revenus sont corrélés), pour le critère moyenne-variance à une période. La résolution de ce problème a fait apparaître une structure liée à une condition de non--arbitrage. Dans ce cadre, on a déterminé une caractérisation explicite de cette condition, ainsi qu'une caractérisation complète des équilibres de Nash.- Dans la troisième partie, on a étendu le jeu à champ moyen avec bruit commun, au cadre du temps continu. Ici, on voit apparaître une condition plus faible de non--arbitrage. Sa caractérisation permet de réduire l'analyse des équilibres de Nash au problème classique d'optimisation de portefeuille avec des dotations aléatoires.

This thesis is dedicated to the study of cross-holding game's Nash equilibria in various frameworks. The related model, which was introduced by M-F. Djete & N. Touzi in 2020, aims to capture the interdependence between differenteconomic agents by taking into account, on the one hand, the mutual holding of sharesbetween the entities, and on the other hand, their incomes that can be correlated.- The first part is devoted to the finite population game within the framework of the exponential utility criterion. In the static and dynamic settings under gaussian Bachelier type dynamic, we completely characterize the Nash equilibria and their existence conditions.- The second part is dedicated to the one-period mean field game with common noise (the revenues are correlated), by considering the mean-variance criterion. The formulation of the problem reveals a No-arbitrage condition. In this framework, we characterized explicitly this condition, as well as the mean field equilibria.- In the third part, we extended the study of the mean-field game, with common noise, to the continuous time setting. Here, the problem reveals a weak notion of No-arbitrage condition. The characterization of this condition reduces the analysis of the mean field equilibria to the classical problem of optimal portfolio with random endowment.