Apprentissage statistique pour extrêmes multivariés et fonctionnels

Statistical learning for multivariate and functional extremes

• Auteur / Autrice : Nathan Huet
• Direction : Stephan Clémençon, Anne Sabourin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 11/11/2024
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Traitement et communication de l'information (Paris ; 2003-....) - Laboratoire de Traitement et Communication de l'Information
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement opérateur d'inscription : Télécom Paris (Palaiseau, Essonne ; 1878-....)
• Jury : Président / Présidente : Pavlo Mozharovskyi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pavlo Mozharovskyi, Céline Duval, Clément Dombry, Aurélie Fischer
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Céline Duval, Clément Dombry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Prévision

Changements climatiques

Apprentissage automatique

Valeurs extrêmes, Théorie des

Mots clés libres

Théorie des valeurs extrêmes

Apprentissage statistique

Analyse des données fonctionnelles

Extreme value theory

Statistical learning

Functional Data Analysis

Résumé

Dans un monde où le réchauffement climatique provoque de plus en plus de phénomènes météorologiques extrêmes d’ampleurs croissantes, cette thèse explore la modélisation des évènements extrêmes à travers des méthodes statistiques enrichies par l’apprentissage statistique. Elle se divise en deux grandes parties. Dans un premier temps, les extrêmes fonctionnels sont étudiés, c’est-à-dire les extrêmes de données dépendant explicitement d’une variable continue comme le temps. Nous travaillons dans un espace de Hilbert séparable, avec un focus sur l’espace L2[0, 1].Des résultats sur la variation régulière, hypothèse fondamentale en théorie des valeurs extrêmes, sont développés, et des caractérisations ainsi que des exemples non triviaux sont présentés. De plus, une méthode de réduction de dimension adaptée aux données fonctionnelles extrêmes est proposée, avec des garanties probabilistes et statistiques. Dans un second temps, nous développons un cadre probabiliste pour la régression dans des régions où la variable d’entrée est extrême, contrairement aux approches classiques qui se concentrent sur les régions où la variable de sortie est extrême. Des résultats sur les risques et les fonctions de régression dans les régions extrêmes, ainsi qu’un algorithme adapté, sont établis. Ce dernier est comparé à des méthodes classiques et appliquées à la prédiction des extrêmes maritimes. En Bretagne, où nous cherchons à compléter les données extrêmes passées pour réduire les incertitudes liées à certaines estimations.

In a world where climate change is causing more and more extreme weather events of increasingmagnitude, this thesis explores the modeling of extreme events through statistical methods enhanced by statistical learning. It is divided into two main parts. First, functional extremes are studied, that is, the extremes of data explicitly dependent on a continuous variable such as time. We work in a separable Hilbert space, with a focus on the space L2[0; 1]. Results on regular variation, a fundamental hypothesis in extreme value theory, are developed, along with characterizations and non-trivial examples. Additionally, a dimensionality reduction method tailored to functional extreme data is proposed, with probabilistic and statistical guarantees. In the second part, we develop a probabilistic framework for regression in regions where the input variable is extreme, in contrast to classic approaches that focus on regions where the output variable is extreme. Results on risks and regression functions in extreme regions, as well as an adapted algorithm, are established. This algorithm is compared to classical methods and applied to the prediction of extreme sea levels in Brittany, where the goal is to reconstruct past extreme data to reduce uncertainties associated with certain estimates.