Equations différentielles stochastiques avec une dérive singulière et un bruit brownien (fractionnaire)
Auteur / Autrice : | Lukas Anzeletti |
Direction : | Alexandre Richard, Etienne Tanré |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 26/10/2023 |
Etablissement(s) : | université Paris-Saclay |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale de mathématiques Hadamard |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : FDM - Fédération de Mathématiques - FR CNRS 3487 |
référent : CentraleSupélec (2015-....) | |
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Stéphane Menozzi |
Examinateurs / Examinatrices : Laure Coutin, Nicolas Perkowski, Xue-Mei Li, Paul Gassiat | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Laure Coutin, Nicolas Perkowski |
Mots clés
Résumé
On étudie l'existence et l'unicité des solutions d'équations différentielles stochastiques avec une dérive singulière ou même distributionnelle et un bruit brownien (fractionnaire) additif. Dans le cas brownien fractionnaire, l'existence et l'unicité sont démontrées pour un ensemble de dérives plus grand que ce qui était connu auparavant, en utilisant à la fois les intégrales de Young non linéaires et le lemme de la couturière stochastique (Stochastic Sewing Lemma) récemment découvert. De plus, pour tout temps positif, on montre que la loi de la solution a une densité et on étudie sa régularité.Certaines des techniques utilisées sont de nature plutôt déterministe. Cela conduit naturellement à la notion d'unicité "trajectoire par trajectoire" qui est conceptuellement plus forte que les notions habituelles d'unicité pour les équations différentielles stochastiques. Dans le cas brownien, l'unicité "trajectoire par trajectoire" est démontrée pour une classe de dérives singulières, étendant ainsi la littérature précédente sur les dérives bornées. En outre, des contre-exemples sont fournis, montrant que l'unicité "trajectoire par trajectoire" est effectivement plus forte que les notions habituelles d'unicité. En particulier, cela implique qu'il existe des équations différentielles stochastiques dont les solutions ne sont pas adaptées.