L'approche de Koopman et moment-sum-of-squares pour le contrôle : méthodes de calcul et applications

The Koopman and moment-sum-of-squares approach for control : computational methods and applications

• Auteur / Autrice : Vít Cibulka
• Direction : Milan Korda, Tomás̆ Hanis̆
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 08/12/2023
• Etablissement(s) : Toulouse 3 en cotutelle avec České vysoké učení technické (Prague)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes (Toulouse ; 1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Michael Sebek
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sophie Tarbouriech, Stefan Klus, Jaroslav Pekar̆
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michal Kvasnica, Mazen Alamir

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes complexes

Programmation convexe

Commande prédictive

Mots clés libres

Opérateur Koopman

Contrôle non linéaire

Commande prédictive

Sum of squares

Koopman operator

Nonlinear control

Model Predictive Control

Sum of squares

Résumé

Cette thèse utilise les cadres de travail de la Somme des carrés (SOS) et de l'opérateur de Koopman pour l'analyse et la synthèse de contrôle des systèmes non-linéaires. Les deux techniques proposent la linéarisation et la convexification des problèmes de contrôle non-linéaires en les transformant dans un espace de dimension infinie où elles permettent des descriptions linéaires débouchant sur une programmation convexe. Nous examinons les défis actuels des deux techniques et proposons des solutions visant à les rendre plus applicables en pratique. Le cadre SOS offre des outils pour résoudre des problèmes polynomiaux non-convexes via une programmation convexe. Le compromis pour l'optimalité globale se reflète dans la taille des programmes convexes, ce qui limite le cadre à des problèmes de petite taille ou très creux. Dans ce travail, nous améliorons la scalabilité, les exigences en ressources et la précision du cadre SOS pour les tâches liées au contrôle en divisant le problème en plusieurs parties interconnectées de moindre complexité tout en fournissant également une méthode pour optimiser la division, atténuant ainsi l'impact de l'augmentation du nombre de paramètres. Le cadre de Koopman offre des outils pour la représentation globale des systèmes dynamiques non-linéaires par des systèmes linéaires de grande dimension, permettant l'utilisation de méthodes de contrôle linéaire pour l'analyse et la conception de contrôle du système non-linéaire sous-jacent. Les méthodes actuelles d'apprentissage de l'opérateur de Koopman supposent une certaine connaissance partielle de l'opérateur, ce qui est généralement difficile à obtenir, transférant ainsi le problème de la recherche de l'opérateur de Koopman au problème de trouver la bonne paramétrisation pour la méthode numérique particulière, ce qui peut être tout aussi difficile. Cette thèse présente une nouvelle méthode pour approximer l'opérateur de Koopman pour les systèmes de contrôle non linéaires. La méthode ne suppose aucune connaissance préalable de l'opérateur, surpasse avec succès l'état de l'art actuel, élargit la classe de systèmes qui peuvent être approximés par la méthodologie et est capable d'exploiter et de reproduire les symétries du système non-linéaire sous-jacent, garantissant ainsi un comportement de contrôleur cohérent lorsqu'il est utilisé pour la synthèse de contrôle.

This thesis uses Sum-of-squares (SOS) and Koopman operator frameworks for analysis and control synthesis of nonlinear control systems. Both techniques propose linearization and convexification of nonlinear control problems by casting the problems into infinite-dimensional space where they permit linear descriptions leading to convex programming. We investigate the current challenges of both techniques and propose solutions aimed at making them more applicable in practice. The SOS framework provides tooling for solving nonconvex polynomial problems via convex programming. The tradeoff for the global optimality is reflected in the size of convex programs, which limits the framework to small or very sparse problems. In this work, we improve the scalability, resource demands, and accuracy of the SOS framework for control-related tasks by splitting the problem into several interconnected parts of lesser complexity while also providing a method for optimizing the splitting, thus mitigating the impact of increasing the number of parameters. The Koopman framework provides tools for global representation of nonlinear dynamical systems by high-dimensional linear systems, allowing the use of linear control methods for analysis and control design for the underlying nonlinear system. The current methods for learning the Koopman operator assume some partial knowledge about the operator, which is usually challenging to obtain, thus transferring the problem of finding the Koopman operator to the problem of finding the right parametrization for the particular numerical method, which can be just as difficult. This thesis presents a new method for approximating the Koopman operator for nonlinear control systems. The method does not assume any prior knowledge about the operator, successfully outperforms the current state-of-the-art, increases the class of systems which can be approximated by the methodology, and is capable of exploiting and replicating symmetries of the underlying nonlinear system, thus guaranteeing consistent controller behaviour when used for control synthesis.