Quelques contributions à la statistique des modèles dynamiques aléatoires

Some contributions to the statistics of random dynamic models

• Auteur / Autrice : Amélie Rosier
• Direction : Nicolas Marie, Pierre Alquier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et applications mathématiques
• Date : Soutenance le 10/11/2023
• Etablissement(s) : Paris 10
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Connaissance, langage, modélisation (Nanterre, Hauts-de-Seine ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Modal'X (Nanterre). Université Paris Nanterre - Modélisation aléatoire de Paris X / MODAL'X
• Jury : Président / Présidente : Vincent Rivoirard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Marie, Pierre Alquier, Vincent Rivoirard, Mathieu Rosenbaum, Joseph Rynkiewicz, Fabienne Comte, Adeline Leclercq-Samson
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Mathieu Rosenbaum, Joseph Rynkiewicz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles

Modèles mathématiques

Processus stochastiques

Mots clés libres

Statistique en grande dimension

Estimation non-Paramétrique

Équations différentielles stochastiques

High-Dimensional statistics

Nonparametric estimation

Stochastic diferential equations

Résumé

Cette thèse de doctorat aborde deux grandes notions. La première porte sur des modèles de débruitage puis de complétion de séries temporelles multidimensionnelles de grande taille représentées par des matrices. Nous proposons un package R dans lequel une méthode de débruitage existante a été implémentée. En complétion, nous montrons, moyennant une condition sur la matrice de bruit ainsi que sur la composante déterministe des séries temporelles, des bornes de risque pour l'estimateur de la matrice plus fines que celles connues en l'absence de structure de série temporelle. La seconde notion abordée dans cette thèse porte sur l'estimation dans des modèles d'équations différentielles stochastiques (EDS). Nous nous concentrons sur un estimateur non-paramétrique de la fonction de drift d'une EDS dirigée par un mouvement Brownien. Nous proposons plusieurs versions d'un estimateur de Nadaraya-Watson calculées à partir de copies indépendantes du processus de diffusion et établissons des bornes de risque pour ces estimateurs.

This doctoral thesis deals with two main concepts. The first concerns models for denoising and then completing large multidimensional time series represented by matrices. We propose an R package in which an existing denoising method has been implemented. In completion, we show that, subject to a condition on the noise matrix and on the deterministic component of the time series, the risk bounds for the matrix estimator are finer than those known in the absence of a time series structure. The second concept addressed in this thesis concerns estimation in stochastic differential equation (SDE) models. We focus on a non-parametric estimator of the drift function of a SDE driven by Brownian motion. We propose several versions of a Nadaraya-Watson estimator computed from independent copies of the diffusion process and establish risk bounds for these estimators.