Une méthode explicite hybride d'ordre élevé pour la dynamique des structures

An explicit hybrid high-order method for structural dynamics

• Auteur / Autrice : Morgane Steins
• Direction : Alexandre Ern
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/12/2023
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Patrick Le Tallec
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandre Ern, Sébastien Imperiale, Hélène Barucq, Paola Antonietti, Erik Burman, Nicolas Pignet, Olivier Jamond
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sébastien Imperiale, Hélène Barucq

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul adaptatif

Équations d'onde

Constructions -- Dynamique

Mots clés libres

Hho

Dynamique des structures

Explicite

Hybrid high order

Structural dynamics

Explicit

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons au développement de la méthode HHO (hybride d'ordre élevé) pour la dynamique des structures. La méthode HHO est formulée en termes d'inconnues de faces définies sur le squelette du maillage, et d'inconnues de cellules définies dans le volume. La méthode HHO présente de nombreux avantages dans le cadre de la mécanique des structures~: elle s'écrit sous forme primale, elle est robuste au verrouillage volumique, elle permet l'utilisation naturelle de maillages polyédriques quelconques, et elle est efficace en termes de coût de calcul. Plus particulièrement, dans cette thèse, nous nous penchons sur la possibilité de coupler la méthode HHO pour la discrétisation spatiale d'équations d'ondes linéaires et non-linéaires avec une intégration explicite en temps. Nous prouvons la convergence optimale de l'approximation dans le cas linéaire avec le schéma des différences centrées en temps. Puis, nous proposons une méthode itérative pour résoudre le couplage statique existant entre les inconnues de cellule et de face à chaque pas de temps. Cette méthode repose sur un splitting d'opérateurs et converge si la stabilisation est multipliée par un facteur suffisamment grand. Une preuve de convergence est donnée dans le cas linéaire. L'extension de cette méthode à l'équation des ondes non-linéaires, à l'équation des ondes élastiques et à la dynamique des structures en grandes transformations avec plasticité est ensuite présentée. De nombreux exemples numériques permettent de vérifier la précision de la méthode proposée, d'étudier l'influence des paramètres du splitting sur le temps de calcul et l'erreur, ainsi que de la comparer aux éléments finis en termes de précision et de coût de calcul.

In this thesis, we focus on the development of the Hybrid High-Order (HHO) method for structural dynamics. The HHO method is formulated in terms of face unknowns defined on the mesh skeleton, and cell unknowns defined in the volume. The HHO method has many advantages in the context of structural mechanics: it can be written in primal form, it is robust to volume locking, it accommodates polyhedral meshes, and it is computationally efficient.More specifically, in this thesis, we investigate the possibility of coupling the HHO method for the spatial discretization of linear and nonlinear wave equations with explicit time-integration schemes. We prove the optimal convergence of the approximation in the linear case with the centered difference scheme in time. We then propose an iterative method for solving the static coupling between the cell and face unknowns at each time step. The method is based on an operator splitting and converges if the stabilisation is multiplied by a sufficiently large factor. A proof of convergence is given in the linear case. We extend this method to the nonlinear wave equation, to the elastic wave equation and to structural dynamics with finite strain plasticity. Numerous numerical experiments are conducted to verify the accuracy of the proposed method, examine the influence of splitting parameters on the computation time and the error, and compare the proposed method with finite elements in terms of accuracy and computation cost.