Modèles stochastiques de branchement-sélection

Stochastic branching processes with selection

• Auteur / Autrice : Brieuc Frénais
• Direction : Jean Bérard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/12/2024
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Samuel Herrmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lionel Lenôtre, Hélène Leman, Denis Villemonais
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Julien Berestycki, Amandine Véber

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transport optimal de mesure

Modèles stochastiques

Mots clés libres

Limites hydrodynamiques

Problèmes à frontière libre

Processus de branchement

Couplage comonotone

Transport optimal en champ moyen

Hydrodynamic limit

Free boundary problems

Branching processes

Comonotone coupling

Mean field optimal transport

Résumé

L'objet central de cette thèse est un système de particules se déplaçant sur la droite réelle et soumises à des règles de branchement et de sélection, appelé N-processus de Markov branchant, qui généralise le N-mouvement brownien branchant étudié par Maillard en autorisant des trajectoires plus générales pour les particules. Nos principaux résultats établissent sous certaines hypothèses de régularité l'existence d'une limite hydrodynamique pour ce système de particule, qui est la fonction de répartition de la loi du processus sous-jacent conditionné à ne pas avoir franchi une certaine frontière, caractérisée comme solution d'un problème inverse du premier temps de passage. La démonstration repose sur un couplage avec des processus auxiliaires, construit en exploitant une hypothèse de monotonie stochastique du processus sous-jacent. En parallèle, nous abordons un problème de transport optimal en champ moyen sous un angle numérique. Nous développons trois méthodes d'apprentissage profond pour obtenir des solutions approchées, mises en œuvre sur divers cas tests, illustrant l'efficacité des approches proposées.

The central object of this thesis is a system of particles moving on the real line and subject to branching and selection rules, called N-branching Markov process, which generalizes the N-branching Brownian motion studied by Maillard, by allowing more general trajectories for the particles. Our main results establish under certain regularity assumptions the existence of a hydrodynamic limit for this particle system, which is the c.d.f. of the distribution of the underlying process conditioned on not having crossed a certain boundary, characterized as the solution of an inverse first-passage time problem. The proof relies on a coupling with auxiliary processes, constructed by exploiting an assumption of stochastic monotonicity on the underlying process. In parallel, we consider the mean field optimal transport problem with a numerical point of view. We develop three deep learning methods to obtain approximate solutions, implemented on various test cases, illustrating the effectiveness of the proposed approaches.