Dynamiques aléatoires dans les comportements collectifs : consensus, clustering, extinction de population

Random dynamics in collective behaviour : consensus, clustering & extinction of populations

• Auteur / Autrice : Jens Walter Fischer
• Direction : Patrick Cattiaux, Sylvie Rœlly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 30/06/2022
• Etablissement(s) : Toulouse 3 en cotutelle avec Universität Postdam (Allemagne)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Aldéric Joulin, Matthias Keller, Han Cheng Lie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Bansaye, Jan Lorenz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Markov, Processus de

Mots clés libres

Chaînes de Markov

Théorie des graphes

Environnement aléatoire

Markov chains

Graph theory

Random environments

Résumé

Le modèle de la chambre d'écho décrit le développement de groupes dans des réseaux sociaux hétérogènes. Par réseau social hétérogène, nous entendons un ensemble d'individus dont chacun représente exactement une opinion. Les relations existantes entre les individus peuvent alors être représentées par un graphique. Le modèle de la chambre d'écho est un modèle discret dans le temps qui, à l'instar d'un jeu de société, se déroule par coups. A chaque tour, une relation existante est sélectionnée de manière aléatoire et uniforme dans le réseau et les deux individus reliés interagissent. Si les opinions des individus concernés sont suffisamment similaires, ils continuent à se rapprocher dans leurs opinions, alors que dans le cas d'opinions trop éloignées, ils rompent leur relation et un des individus cherche une nouvelle relation. Dans ce travail, nous examinons les éléments constitutifs de ce modèle. Nous partons de l'observation que les changements de structure des relations dans le réseau peuvent être décrits par un système de particules en interaction dans un espace plus abstrait. Ces réflexions conduisent à la définition d'un nouveau graphe abstrait qui englobe toutes les configurations relationnelles possibles du réseau social. Cela nous fournit la compréhension géométrique nécessaire pour analyser les composantes dynamiques du modèle de chambre d'écho dans la partie III. Dans un premier temps, dans la partie 7, nous laissons de côté les opinions des individus et supposons que la position des arêtes change à chaque coup comme décrit précédemment, afin d'obtenir une compréhension de base de la dynamique sous-jacente. En utilisant la théorie des chaînes de Markov, nous trouvons des limites supérieures à la vitesse de convergence d'une chaîne de Markov associée vers sa distribution stationnaire unique et montrons qu'il existe des réseaux identifiables entre eux et non apparents dans la dynamique analysée, en ce sens que la distribution stationnaire de la chaîne de Markov associée attribue le même poids à ces réseaux. Dans les cas réversible, nous nous concentrons en particulier sur la forme explicite de la distribution stationnaire ainsi que sur les limites inférieures de la constante de Cheeger pour décrire la vitesse de convergence. Le résultat final de la section 8, basé sur les chaînes de Markov absorbantes, montre que dans une version réduite du modèle de la chambre d'écho, une structure hiérarchique du nombre de relations conflictuelles peut être identifiée. Nous pouvons utiliser cette structure pour déterminer une limite supérieure au temps d'absorption attendu, à l'aide d'une distribution quasi-stationnaire. Cette hiérarchie de la structure constitue également un pont vers les théories classiques des processus de mort pur. Nous concluons en montrant comment les recherches futures peuvent exploiter ce lien et en discutant de l'importance des résultats comme éléments constitutifs d'une compréhension théorique complète du modèle de la chambre d'écho. Enfin, la partie IV présente un article publié consacré au processus de naissance-mort avec catastrophe partielle. L'article repose d'une part, le calcul explicite du premier moment d'une catastrophe. Cette première partie est entièrement basée sur une approche analytique des récurrences du second degré à coefficients linéaires. La convergence vers 0 de la suite résultante ainsi que la vitesse de convergence sont prouvées. D'autre part, la détermination des limites supérieures de la valeur attendue de la taille de la population ainsi que de la variance de celle-ci et de la différence entre la limite supérieure déterminée et la valeur réelle de la valeur attendue. Pour ces résultats, nous utilisons presque exclusivement la théorie des équations différentielles non linéaires ordinaires.

The echo chamber model describes the development of groups in heterogeneous social networks. By heterogeneous social network we mean a set of individuals, each of whom represents exactly one opinion. The existing relationships between individuals can then be represented by a graph. The echo chamber model is a time-discrete model which, like a board game, is played in rounds. In each round, an existing relationship is randomly and uniformly selected from the network and the two connected individuals interact. If the opinions of the individuals involved are sufficiently similar, they continue to move closer together in their opinions, whereas in the case of opinions that are too far apart, they break off their relationship and one of the individuals seeks a new relationship. In this paper we examine the building blocks of this model. We start from the observation that changes in the structure of relationships in the network can be described by a system of interacting particles in a more abstract space. These reflections lead to the definition of a new abstract graph that encompasses all possible relational configurations of the social network. This provides us with the geometric understanding necessary to analyse the dynamic components of the echo chamber model in Part III. As a first step, in Part 7, we leave aside the opinions of the inidividuals and assume that the position of the edges changes with each move as described above, in order to obtain a basic understanding of the underlying dynamics. Using Markov chain theory, we find upper bounds on the speed of convergence of an associated Markov chain to its unique stationary distribution and show that there are mutually identifiable networks that are not apparent in the dynamics under analysis, in the sense that the stationary distribution of the associated Markov chain gives equal weight to these networks. In the reversible cases, we focus in particular on the explicit form of the stationary distribution as well as on the lower bounds of the Cheeger constant to describe the convergence speed. The final result of Section 8, based on absorbing Markov chains, shows that in a reduced version of the echo chamber model, a hierarchical structure of the number of conflicting relations can be identified. We can use this structure to determine an upper bound on the expected absorption time, using a quasi-stationary distribution. This hierarchy of structure also provides a bridge to classical theories of pure death processes. We conclude by showing how future research can exploit this link and by discussing the importance of the results as building blocks for a full theoretical understanding of the echo chamber model. Finally, Part IV presents a published paper on the birth-death process with partial catastrophe. The paper is based on the explicit calculation of the first moment of a catastrophe. This first part is entirely based on an analytical approach to second degree recurrences with linear coefficients. The convergence to 0 of the resulting sequence as well as the speed of convergence are proved. On the other hand, the determination of the upper bounds of the expected value of the population size as well as its variance and the difference between the determined upper bound and the actual value of the expected value. For these results we use almost exclusively the theory of ordinary nonlinear differential equations.