Contrôle linéaire-quadratique stochastique non markovien : dynamique de Volterra, volatilité rugueuse et équations avec retard

Non Markovian stochastic linear-quadratic control : Volterra equations, rough volatility and equations with delay

• Auteur / Autrice : Enzo Miller
• Direction : Huyên Pham, René Aïd
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 25/05/2021
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Mathieu Rosenbaum
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Huyên Pham, René Aïd, Mathieu Rosenbaum, Christa Cuchiero, Aurélien Alfonsi, Agnès Sulem, Fausto Gozzi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christa Cuchiero, Aurélien Alfonsi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Réseaux neuronaux (informatique)

Apprentissage profond

Équations différentielles à retard

Espaces de Banach

Riccati, Équation de

Volterra, Équations de

Mots clés libres

Contrôle stochastique linéaire-quadratique

Volatilité rugueuse

Équations de Lyapunov

Théorie du portefeuille de variance moyenne

Linear-Quadratic stochastic control

Stochastic Volterra equations

Riccati equations in Banach space

Infinite dimensional Lyapunov equation

Integral operator Riccati equation

Stochastic Volterra equations

Mean-Variance portfolio theory

Rough volatility

Correlation matrices

Multidimensional Volterra process

Résumé

La présente thèse traite des problèmes de contrôle stochastique linéaire-quadratiques non markoviens. Elle est divisée en trois parties. Dans la première partie, nous abordons des problèmes de contrôle de Volterra stochastique dont le noyau peut être exprimé sous forme de transformée de Laplace. Ces hypothèses sont inspirées de la réécriture du mouvement brownien fractionnaire comme somme infinie de processus markoviens. Les fonctions de commande de rétroaction et de valeur optimales sont exprimées en termes d’équations de Riccati à valeur dans un Banach dont l’existence et l’unicité sont prouvées. Dans la deuxième partie, nous revisitons le célèbre problème de sélection de portefeuille multivarié de Markowitz où des actifs de différentes rugosités sont considérés. Le contrôle optimal et la frontière efficace sont dérivés en termes d’opérateur de Riccati à valeur dans en espace de Hilbert. Le caractère explicite de notre analyse nous permet de mettre en oeuvre un schéma numérique simple que nous illustrons dans le cas de l’allocation de portefeuille avec 2 actifs, un rugueux H=0.1 et un lisse H=0.45. De manière surprenante, nos simulations ont pu reproduire la stratégie buy rough sell smooth exposée dans [GH20a], fournissant ainsi une explication endogène de cette allocation. Enfin, la dernière partie traite du contrôle retardé des équations différentielles stochastiques. Nous résolvons une version simplifiée au moyen d’équations aux dérivées partielles de type Riccati dont l’existence et l’unicité sont prouvées, à condition qu’une condition combinant l’horizon, le retard, la dérive et la volatilité soit satisfaite. Une méthode de résolution par réseaux de neurones est utilisée pour résoudre les équations de Riccati dans le contexte de la sélection de portefeuille de Markovitz avec délai d’exécution.

The present thesis deals with non Markovian linear-quadratic stochastic control problems. It is divided into three parts. In the first part, we tackle stochastic Volterra control problems whose kernel can be expressed as Laplace transform. Such assumptions is inspired from the rewriting of fractional Brownian motion as infinite sum of Markovian processes. The optimal control and value functions are expressed in terms of Banach valued Riccati equation whose existence and uniqueness are proved. In the second part, we revisit the celebrated multivariate Markowitz portfolio selection problem combined with rough volatility. The optimal control and efficient frontier are derived in terms of explicit Hilbert valued Riccati operator. The completely explicit feature of our analysis enables us to implement an easy numerical scheme that we illustrate in the the case of portfolio allocation with 2 assets, one rough H=0.1 and one smooth H=0.45. Surprisingly our simulations were able to reproduce the buy rough sell smooth strategy exhibited in [GH20a], thus providing an endogenous explanation over this allocation. Finally, the last part deals with the delayed control of stochastic differential equations. We solve a simplified version by means of Riccati PDEs whose existence and uniqueness are derived, provided a condition combining the horizon, the delay, the drift and the volatility is satisfied. A deep learning method is used to solve the Riccati PDEs in the context of Markovitz portfolio selection with execution delay.