Validation des modèles ARMA saisonniers et/ou périodiques avec innovations dépendantes

Validation of seasonal and/or periodic ARMA models with dependent innovations

• Auteur / Autrice : Abdoulkarim Ilmi amir
• Direction : Yacouba Boubacar Mainassara
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/05/2021
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Camelia Goga
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yacouba Boubacar Mainassara, Camelia Goga, Sophie Dabo-Niang, Abdelouahab Bibi, Eugen Ursu, Ahmed El Ghini
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sophie Dabo-Niang, Abdelouahab Bibi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Tests d'ajustement (statistique)

Moindres carrés

Mots clés libres

Modèles SARMA faibles

Modèles non linéaires

Estimateur de moindre carrés quas-Généralisés

Tests de portmanteau de Ljung-Box

Normalité asymptotique

Approche d'auto-Normalisation

Test d'ajustement

Estimation du quasi-maximum de vraisemblance

Test de Box-Pierce

Corrélation résiduelle

Saisonnalité

Auto normalisation

Modèles PARMA faibles

Modèles SPARMA faibles

Moindres carrés pondérées

Moindre carrés généralisés

Moindre carrés généralisés quasi généralisés

Weaks SPARMA models

Non linear models

Quasi-Generalized least-Squares estimator

Portmanteau tests of Ljung-Box and Box-Pierce

Asymptotic normality

Self-Autonormalization approach

Goodness-of -fit test

Quasi-maximum likehood estimation

Box- pierce and Ljung box portemanteau tests

Résidual autocorrelation

Saisonality

Selff normalisation

Weak SARMA models

Weaks SVARMA models

Weak PARMA models

Weighted least squares

Quasi-generalized least squares

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons principalement à la validation des modèles ARMA saisonniers et/ou périodiques (SARMA pour Seasonal AutoRegressive Moving-Average, PARMA pour Periodic ARMA et SPARMA Seasonal PARMA) en considérant des termes d’erreur non corrélés mais qui peuvent contenir des dépendances non linéaires. Ces modèles sont appelés des ARMA saisonniers et/ou périodiques faibles et permettent de traiter des processus qui peuvent avoir des dynamiques non linéaires très générales. Par opposition nous appelons modèles ARMA saisonniers et/ou périodiques forts quand le terme d'erreur est indépendant et identiquement distribué (iid). Relâcher l'hypothèse d'indépendance sur le terme d'erreur (une hypothèse habituellement imposée dans la littérature) permet aux modèles SARMA, PARMA et SPARMA faibles d'élargir considérablement leurs champs d'application. Nous étudions les propriétés asymptotiques de l’estimateur du quasi-maximum de vraisemblance et de l’estimateur des moindres carrés généralisés et quasi-généralisés des modèles SARMA faibles et SPARMA faibles. Ensuite nous nous intéressons aux tests fondés sur les résidus, qui ont pour objet de vérifier que les résidus des modèles estimés sont bien des estimations de bruits blancs. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux tests portmanteau, aussi appelés tests d’autocorrélation. Nous montrons que les autocorrélations résiduellesde ces modèles ont une distribution asymptotique normal de matrice de covariance différente de celle obtenue dans le cas standard (c’est-à-dire sous les hypothèses iid sur le bruit). Cela nous permet d'avoir le comportement asymptotique des statistiques de tests portmanteau et de proposer ainsi des versions modifiées de ces tests. La distribution asymptotique des tests portmanteau est approximée par un chi-deux lorsque le terme d'erreur est supposé iid. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d'une somme pondérée de chi-deux, elle peut être très différente de l'approximation chi-deux usuelle du cas fort (iid). Nous proposons également une approche qui nous permet d’éviter l’estimation de la matrice de covariance asymptotique des autocorrélations empiriques dite d’auto-normalisation.

In this thesis, we are mainly interested in the validation of seasonal and/or periodic ARMA models (SARMA for Seasonal AutoRegressive Moving-Average, PARMA for Periodic ARMA and SPARMA for Seasonal PARMA) with uncorrelated but non-independent error terms. These models are called weak seasonal and/or periodic ARMA and allow to deal with processes that may have very general non-linear dynamics. By opposition we call strong seasonal and/or periodic ARMA models when the error term is independent and identically distributed (iid). Relaxing the independence assumption on the error term (a assumption usually imposed in the literature) allows the weak SARMA, PARMA and SPARMA models to considerably broaden their fields of application. We study the asymptotic properties of the quasi-maximum likelihood estimator and the generalized and quasi-generalized least squares estimator of weak SARMA and weak SPARMA models. We are interested in portmanteau tests, also known as autocorrelation tests. We show that the residual autocorrelations of these models have a normal asymptotic covariance matrix distribution different from that obtained in the standard case (i.e. under the iid assumptions on noise). This allows us to have the asymptotic behaviour of portmanteau test statistics and thus to offer modified versions of these tests. The asymptotic distribution of portmanteau tests is approximated by a chi-squared when the error term is assumed to be iid. In the general case, we show that this asymptotic distribution is that of a weighted sum of chi-squared. It can be very different from the usual chi-square approximation of the strong case (iid). We also propose an approach that allows us to avoid the estimation of the asymptotic covariance matrix of empirical autocorrelations called self-normalization.