Approximation forte et étude sur de grandes échelles de temps de modèles stochastiques de grandes populations

Strong approximation and study on large time scales of stochastic models of large populations

• Auteur / Autrice : Adrien Prodhomme
• Direction : Florent Malrieu, Vincent Bansaye
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/10/2021
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Baptiste Gouéré
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvie Méléard, Florence Merlevède, Eva Löcherbach
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Léa Popovic, Arnaud Guillin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles

Markov, Processus de

Dépendance (statistique)

Théorie de la fonctionnelle de densité

Modèles mathématiques

Biologie des populations

Simulation des grandes échelles

Approximation, Théorie de l'

Mots clés libres

Modèles de population

Processus densité-Dépendants

Echelles de temps

Approximation forte

Métastabilité

Environnement aléatoire

Population models

Density-Dependent processes

Time scales

Strong approximation

Metastability

Random environment

Résumé

De nombreux modèles stochastiques de populations font partie de la classe des chaînes de Markov densité-dépendantes. Il s'agit de chaînes de Markov à temps continu qui font intervenir un paramètre d'échelle K, représentant par exemple une quantité de ressources en écologie ou la taille totale de la population en épidémiologie. Dans le régime des grandes valeurs de K, ces chaînes admettent pour limite d'échelle la solution d'une équation différentielle (loi des grands nombres) et les fluctuations sont asymptotiquement gaussiennes (théorème central limite).Dans le premier chapitre de cette thèse, nous quantifions l'échelle de temps pendant laquelle cette approximation gaussienne reste valide uniformément sur la trajectoire, en fonction du niveau de précision voulu, dans le cas où le système dynamique limite converge vers un point d'équilibre exponentiellement stable. On construit pour cela un nouveau couplage entre la chaîne et son approximation gaussienne, et l'on montre que le temps nécessaire à l'erreur d'approximation pour atteindre un niveau donné est au moins exponentiel en le produit du paramètre d'échelle et du niveau d'erreur. Ainsi, par une approche unique, on obtient une extension du théorème central limite à des échelles de temps exponentielles en la racine carrée de K, et on retrouve deux faits déjà connus, à savoir que l'approximation gaussienne prédit correctement les échelles de temps des déviations modérées, et que la loi marginale de la chaîne est approximativement gaussienne pendant un temps exponentiel en K.Dans le deuxième chapitre, on s'intéresse au cas où la dynamique est de plus soumise au contrôle d'un environnement changeant, aléatoire ou déterministe. La limite d'échelle est alors une équation différentielle à coefficients aléatoires ou dépendant du temps, et les fluctuations sont décrites par un processus gaussien conditionnellement à l'environnement. On montre que les résultats obtenus dans le premier chapitre en environnement constant peuvent se généraliser, sous l'hypothèse que les trajectoires de la limite d'échelle vérifient une propriété de stabilité exponentielle uniforme. On présente des conséquences sur l'approximation de moyennes empiriques de fonctions régulières de la chaîne.Enfin, le troisième et dernier chapitre est consacré à l'étude d'un modèle épidémique individu-centré Susceptible-Infecté-Susceptible multi-type en environnement aléatoire. Dans ce cadre, la limite d'échelle est donnée par un processus markovien déterministe par morceaux (PDMP). On s'intéresse particulièrement au cadre dit persistant où la maladie tend à se propager puis à persister durablement dans la population. On montre qu'alors, dans une population de grande taille K, partant d'une proportion macroscopique d'infectés, le temps typique d'extinction de l'épidémie soit se comporte comme une puissance de K que l'on caractérise, soit croît plus vite que toute puissance de K. Enfin, on montre que la distribution quasi-stationnaire associée au conditionnement à la non-extinction converge vers l'unique distribution stationnaire non triviale du PDMP limite.

Many stochastic population models belong to the class of density-dependent Markov chains. These are continuous-time Markov chains which involve a scaling parameter K, representing for instance a quantity of resources in ecology or the total population size in epidemiology. In the regime of large values of K, such chains admit a scaling limit given by the solution of a differential equation (law of large numbers) and the fluctuations are asymptotically Gaussian (central limit theorem).In the first chapter of this thesis, we quantify the time scale during which this Gaussian approximation remains valid uniformly on the trajectory, as a function of the desired level of precision, in the case where the limiting dynamical system converges to an exponentially stable equilibrium point. To this end we construct a new coupling between the chain and its Gaussian approximation, and we show that the time needed for the approximation error to reach a given level is at least exponential in the product of the scaling parameter K and the error level. Thus, through a unified approach we obtain an extension of the central limit theorem to time scales which are exponential in the square root of K, and we recover two already known facts, namely that the Gaussian approximation yields the good asymptotics for the time scales of moderate deviations, and that the marginal distribution of the chain is approximately Gaussian for a period of time exponential in K.In the second chapter, we consider the case where the dynamics is controlled by a varying environment, random or deterministic. Then, the scaling limit is given by a random or non-autonomous differential equation, and the fluctuations are described by a process which is Gaussian conditional on the environment. We show that the results obtained in the first chapter in constant environment can be generalised, under the assumption that the trajectories of the scaling limit satisfy a uniform exponential stability property. We present consequences on the approximation of the empirical mean of smooth functions of the chain.Finally, the third and last chapter is devoted to the study of an individual-based multitype Susceptible-Infected-Susceptible epidemic model in randomly switched environment. In this setting, the scaling limit is given by a piecewise deterministic Markov process (PDMP). We are particularly interested in the so-called persistent case where the disease tends to spread and then persist for a long time in the population. In that case we show that in a population of large size K, starting from a macroscopic proportion of infectives the typical extinction time of the epidemic grows either like a power of K which we characterise, or more rapidly than any power of K. Besides, we show that the quasi-stationary distribution associated to conditioning on non-extinction converges to the unique non trivial stationary distribution of the limiting PDMP.