Phénomènes de régularisation pour des équations aux dérivées partielles stochastiques à travers des calculs stochastiques d'Itô et chemin par chemin

Regularization phenomena for stochastic (partial) differential equations via Itô- and pathwise stochastic calculi

• Auteur / Autrice : Florian Bechtold
• Direction : Lorenzo Zambotti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/09/2021
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Thierry Lévy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Martina Hofmanová, Cyril Labbé, Nicolas Perkowski
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Paul Gassiat, Benjamin Gess

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien

Espaces de Banach

Itô, Intégrales d'

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Mots clés libres

Régularisation par le bruit

Régularité maximale

Intégration non-linéaire

EPDS

Système de particules

Chemins rugueux

Regulation by noise

Maximal regularity

Non-linear integration

SPDE

Particle systems

Rough paths

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions trois cas de phénomènes de régularisation pour des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Dans un premier temps, nous nous intéressons à des EDPS semi-linéaires à diffusion non bornée. En établissant une généralisation de l'inégalité maximale pour des convolutions stochastiques nous prouvons l'existence de solutions fortes dans un régime sous-critique. Par ailleurs, en exploitant une approximation par des solutions sous-critiques, nous démontrons dans le régime critique l'existence de solutions martingales à l’aide de la méthode de compacité de Flandoli-Gatarek.Ensuite, nous établissons une loi des grands nombres pour des systèmes de particules en interaction sans hypothèse d'indépendance ou de moment sur les conditions initiales. Dans ce but, nous déterminons une équation satisfaite au sens faible par la mesure empirique associée, qui ne diffère de l'EDP de McKean-Vlasov attendue que par un terme de bruit. Dans le traitement de ce dernier terme, nous utilisons de façon complémentaire des bornes trajectorielles issues des chemins rugueux et des arguments fondés sur le calcul d’Itô.Enfin, nous décrivons des phénomènes de régularisation qui apparaissent en moyennant le long des trajectoires. En se fondant sur des estimations récentes de régularité spatio-temporelle pour les temps locaux du mouvement brownien fractionnaire, nous étudions les équations de transport moyennées grâce à leurs caractéristiques régularisées associées. Un argument de point fixe sur les équations de transport nous permet ensuite de nous intéresser à une équation de type Burgers moyennée le long des chemins du mouvement brownien fractionnaire.

In this thesis, we study three instances of regularization phenomena for stochastic (partial) differential equations (SPDEs). We first study semilinear SPDEs with unbounded diffusion terms: By deriving a generalization to the maximal inequality for stochastic convolutions we are able to establish existence of strong solutions in the subcritical regime. We moreover use the associated sequence of subcritical solutions to establish existence of a martingale solution in the critical case via the Flandoli-Gatarek compactness method. Secondly, we establish a law of large numbers for interacting particle systems without imposing independence or finite moment assumptions on the initial conditions: Towards this end, we establish a non-closed equation satisfied by the associated empirical measure in a mild sense that differs from the expect limiting McKean-Vlasov PDE only by a certain noise term. In treating said noise term, we employ pathwise rough path bounds and arguments based on Itô-calculus in a complementary fashion that allow to establish the desired law of large numbers.Finally we investigate regularization phenomena through averaging along curves. Based on recent space-time regularity estimates for local times of fractional Brownian motion in one dimension, we study averaged transport equations in passing by their associated regularized characteristics. By employing a fixed point argument on the level of transport equations, we are able to subsequently pass to a Burgers' type equation averaged along paths of fractional Brownian motion. The arguments at each step are conditional on the Hurst parameter satisfying explicitly established conditions.