Techniques numériques rétrogrades de type McKean pour les EDPs et une application à la gestion de l'énergie.

Probabilistic backward McKean numerical methods for PDEs and one application to energy management.

• Auteur / Autrice : Lucas Izydorczyk
• Direction : Francesco Russo, Gianmario Tessitore, Nadia Oudjane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 06/07/2021
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris en cotutelle avec Università degli studi di Milano - Bicocca
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau ; 1970 -....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Appliquées (Palaiseau)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Gobet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Francesco Russo, Gianmario Tessitore, Nadia Oudjane, Stefano Bonaccorsi, Christian Léonard, Agnès Sulem, Federica Masiero
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stefano Bonaccorsi, Christian Léonard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fokker-Planck, Équation de

Analyse stochastique

Mots clés libres

Retourné en temps d'une diffusion

Gestion de la demande

Équation de Fokker-Planck

Équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)

Représentation probabiliste d'EDPs

Equation Différentielle Stochastique (EDS) de type McKean

Problème inverse

Contrôle stochastique

Schéma de régression de type Monte-Carlo

Time reversal of diffusion;

Hamilton Jacobi Bellman (HJB) equation

Probabilistic representation of PDEs

McKean stochastic differential equation

Fokker-Planck equation

Demand-Side management

Inverse problem

Stochastic control

Regression Monte-Carlo scheme

Résumé

Cette thèse s'intéresse aux équations différentielles stochastiques de type McKean(EDS) et à leur utilisation pour représenter des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires. Ces équations ne dépendent pas seulement du temps et de la position d'une certaine particule mais également de sa loi. En particulier nous traitons le cas inhabituel de la représentation d'EDP de type Fokker-Planck avec condition terminale fixée. Nous discutons existence et unicité pour ces EDP et de leur représentation sous la forme d'une EDS de type McKean, dont l'unique solutioncorrespond à la dynamique du retourné dans le temps d'un processus de diffusion.Nous introduisons la notion de représentation complètement non-linéaire d'une EDP semilinéaire. Celle-ci consiste dans le couplage d'une EDS rétrograde et d'un processus solution d'une EDS évoluant de manière rétrograde dans le temps. Nous discutons également une application à la représentation d'une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) en contrôle stochastique. Sur cette base, nous proposonsun algorithme de Monte-Carlo pour résoudre des problèmes de contrôle. Celui ciest avantageux en termes d'efficience calculatoire et de mémoire, en comparaisonavec les approches traditionnelles progressive rétrograde. Nous appliquons cette méthode dans le contexte de la gestion de la demande dans les réseaux électriques. Pour finir, nous faisons le point sur l'utilisation d'EDS de type McKean généralisées pour représenter des EDP non-linéaires et non-conservatives plus générales que Fokker-Planck.

This thesis concerns McKean Stochastic Differential Equations (SDEs) to representpossibly non-linear Partial Differential Equations (PDEs). Those depend not onlyon the time and position of a given particle, but also on its probability law. In particular, we treat the unusual case of Fokker-Planck type PDEs with prescribed final data. We discuss existence and uniqueness for those equations and provide a probabilistic representation in the form of McKean type equation, whose unique solution corresponds to the time-reversal dynamics of a diffusion process.We introduce the notion of fully backward representation of a semilinear PDE: thatconsists in fact in the coupling of a classical Backward SDE with an underlying processevolving backwardly in time. We also discuss an application to the representationof Hamilton-Jacobi-Bellman Equation (HJB) in stochastic control. Based on this, we propose a Monte-Carlo algorithm to solve some control problems which has advantages in terms of computational efficiency and memory whencompared to traditional forward-backward approaches. We apply this method in the context of demand side management problems occurring in power systems. Finally, we survey the use of generalized McKean SDEs to represent non-linear and non-conservative extensions of Fokker-Planck type PDEs.