Modelling, analysis and control of some water waves-rigid body interactions

Modélisation, analyse et contrôle de certaines interactions vagues-corps rigides

• Auteur / Autrice : Gaston Vergara
• Direction : Marius Tucsnak, Franck Sueur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 20/10/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Yann Le Gorrec
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marius Tucsnak, Franck Sueur, Yann Le Gorrec, Martin Gugat, Takéo Takahashi, Ludovick Gagnon, Hans J. Zwart
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martin Gugat, Takéo Takahashi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles non linéaires

Modèles mathématiques

Mécanique des fluides

Mots clés libres

Équations non linéaires en eau peu profonde

Quations visqueuses eneau peu profond

Équations de type Cummins

Modèles fluide-Structure

Colonne d’eau oscillante

Contrôlabilité frontière

Nonlinear shallow water equations

Viscous shallow water equations

Cummins-Type equations

Fluid-Structure models

Oscillating water column device

Boundary controllability

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude de certains modèles d'interaction fluide-structure dans des régimes d'eau peu profonde.En particulier, le manuscrit apporte des contributions sur les interactions entre un fluide et des corps rigides fixes et flottants.Dans une première partie, nous commençons par étudier la modélisation mathématique et les simulations d'une colonne d'eau oscillante. Dans ce dispositif, les vagues viennent du rivage, heurtent une marche basse, puis atteignent une chambre pour changer le volume d'air et entraîner une turbine qui produit de l'électricité.Dans cette première approche, une pression atmosphérique constante est supposée sur la surface libre du fluide à l'intérieur de la chambre.Les vagues régies par les équations unidimensionnelles des eaux peu profondes en présence de ce dispositif sont essentiellement reformulées sous la forme de deux problèmes de transmission : le premier est associé à une marche devant la structure, et le second est lié à l'interaction vagues-structure.D'autre part, en considérant la notion d'invariants de Riemann pour obtenir la version discrétisée des conditions de transmission, nous implémentons le schéma de Lax-Friedrichs pour obtenir des solutions numériques du modèle.De plus, en utilisant le concept de contrôlabilité du profil nodal, nous abordons le problème de la contrôlabilité frontière du système.Enfin, nous clôturons la première partie de la thèse en proposant un deuxième modèle non linéaire d'un dispositif à colonne d'eau oscillante impliquant une condition de transmission qui décrit un flux de pression d'air dépendant du temps à l'intérieur de la chambre, qui est obtenu en considérant l'équation de Bernoulli à surface libre et les propriétés relatives au régime des eaux peu profondes.Dans la deuxième partie, nous étudions quelques modèles décrivant le mouvement vertical d'un solide flottant à la surface libre d'un fluide visqueux peu profond.Cette structure rigide est supposée être contrôlée par une force verticale exercée via un actionneur.Nous commençons par prouver que le modèle est bien posé en considérant des espaces fonctionnels adéquats et des opérateurs convenables entre eux. En obtenant une forme explicite de la fonction de transfert associée, nous prouvons quelques résultats sur la stabilité input-output du système.Enfin, nous étudions une équation intégro-différentielle de type Cummins décrivant le mouvement d'une structure partiellement immergée flottant dans un fluide visqueux sur un domaine non-borné.Sur la base des résultats de stabilité de Matignon pour les systèmes fractionnaires, on trouve des solutions explicites du système, conduisant à une description precise de leur comportement en temps long.

This PhD dissertation deals with the study of some fluid-structure interaction models in shallow water regimes. Particularly, the manuscript brings contributions on interactions between a fluid with fixed and floating rigid bodies. In a first part, we start by studying the mathematical modelling and simulations of an oscillating water column. In this device, the waves come from shore, find a bottom step, and then reach a chamber to change the air volume to drive a turbine to produce electricity. In this first approach, constant atmospheric pressure is assumed on the free surface of the fluid inside the chamber. Waves governed by the one-dimensional shallow water equations in the presence of this device are essentially reformulated as two transmission problems: the first one is associated with a step in front of the structure, and the second one is related to the wave structure interaction. On the other hand, by considering the notion of Riemann invariants to obtain the discretized version of the transmission conditions, we implement the Lax-Friedrichs scheme to get numerical solutions of the model. Furthermore, by using the concept of nodal profile controllability, we address the problem of boundary controllability for the introduced model. Finally, we close the first part of the thesis by proposing a second nonlinear model of an oscillating water column device involving a transmission condition that describes a time-dependent air pressure flow inside the chamber, which is obtained by considering the free surface Bernoulli’s equation and properties relative to the shallow water regime. In a second part of the manuscript, we study some models describing the vertical motion of a solid floating at the free surface of a viscous shallow fluid. The rigid structure involved is assumed to be controlled by a vertical force exerted via an actuator. We start by proving the well-posedness of the model, which is obtained by considering adequate function spaces and convenient operators between them. Furthermore, by obtaining an explicit form of the transfer function associated, we prove some results on the input-output stability of the system. Finally, we study a Cummins type integro-differential equation describing the motion of a partially immersed structure floating in a viscous fluid in an unbounded domain. Relying on the stability results of Matignon for fractional systems, the explicit solutions of the system are established, leading to an explicit knowledge of the long-time behaviour of them.