EDSs réfléchies en moyenne avec sauts et EDSs rétrogrades de type McKean-Vlasov : étude théorique et numérique

Mean reflected SDEs with jumps and McKean-Vlasov backward SDEs : theoretical and numerical study

• Auteur / Autrice : Abir Ghannoum
• Direction : Philippe Briand, Mustapha Jazar, Céline Labart
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/11/2019
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE) en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques (Chambéry)
• Jury : Président / Présidente : Gianmario Tessitore
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Chassagneux
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : François Delarue, Arnaud Guillin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chaos (théorie des systèmes)

Équations différentielles stochastiques

Mots clés libres

EDSs réfléchies en moyenne avec sauts

Système de particules

Propagation du chaos

EDSRs de type McKean-Vlasov

Décomposition en chaos de Wiener

Marche aléatoire

Mean reflected SDEs with jumps

Particle system

Propagation of chaos

McKean-Vlasov backward SDEs

Wiener chaos expansion

Random walk

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de deux principaux sujets de recherche: les équations différentielles stochastiques (EDSs) réfléchies en moyenne avec sauts et les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs) de type McKean-Vlasov.Le premier travail de ma thèse établit la propagation du chaos pour les EDSs réfléchies en moyenne avec sauts. Nous avons étudié dans un premier temps l'existence et l'unicité d'une solution. Nous avons développé ensuite un schéma numérique via le système de particules. Enfin nous avons obtenu une vitesse de convergence pour ce schéma.Le deuxième travail de ma thèse consiste à étudier les EDSRs de type McKean-Vlasov. Nous avons prouvé l'existence et l'unicité de solutions de telles équations, et nous avons proposé une approximation numérique basée sur la décomposition en chaos de Wiener ainsi que sa vitesse de convergence.Le troisième travail de ma thèse s'intéresse à une autre type de simulation pour les EDSRs de type McKean-Vlasov. Nous avons proposé un schéma numérique basé sur l'approximation du mouvement brownien par une marche aléatoire et nous avons obtenu une vitesse de convergence pour ce schéma.Par ailleurs, quelques exemples numériques dans ces trois travaux permettent de constater l'efficacité de nos schémas et les vitesses de convergences annoncées par les résultats théoriques.

This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of two main subjects in the context of stochastic differential equations (SDEs): mean reflected SDEs with jumps and McKean-Vlasov backward SDEs.The first part of my thesis establishes the propagation of chaos for the mean reflected SDEs with jumps. First, we study the existence and uniqueness of a solution. Then, we develop a numerical scheme based on the particle system. Finally, we obtain the rate of convergence of this scheme.The second part of my thesis studies the McKean-Vlasov backward SDEs. In this case, we prove the existence and uniqueness of a solution for such equations. Then, thanks to the Wiener chaos expansion, we provide a numerical approximation. Moreover, the convergence rate of this approximation is also determined.The third part of my thesis proposes another type of simulation for the McKean-Vlasov backward SDEs. Due to the approximation of Brownian motion by a scaled random walk, we develop a numerical scheme and we get its convergence rate.In addition, a few numerical examples in these three parts are given to illustrate the efficiency of our schemes and their convergence rates stated by the theoretical results.