Exemples de restauration d’unicité et de sélection d’équilibres dans les jeux à champ moyen

Instances of uniqueness restoration and equilibria selection in mean field games

• Auteur / Autrice : Rinel Foguen Tchuendom
• Direction : François Delarue
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/06/2018
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Mireille Bossy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mireille Bossy, Jean-François Chassagneux, Romuald Elie, Luciano Campi, Anthony Réveillac
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-François Chassagneux, Romuald Elie

Mots clés

Mots clés contrôlés

Optimisation mathématique

Théorie des jeux

Mots clés libres

Jeux à champ moyen

Bruit commun

Restaurer l’unicité

Limite zéro bruit

Mean field games

Common noise

Restoring uniqueness

Zero noise limit

Résumé

Ce manuscrit a pour objectif de présenter plusieurs résultats de restauration d’unicité et de sélection d’équilibres dans les jeux à champ moyen. La théorie des jeux à champ moyen a été initiée dans les années 2000 par deux groupes de chercheurs, Lasry et Lions en France, et Huang, Caines et Malhamé au Canada. L’objectif de cette théorie est de décrire les équilibres de Nash dans des jeux différentiels stochastiques incluant un grand nombre de joueurs interagissant les uns avec les autres à travers leur mesure empirique commune et présentant suffisamment de symétrie. Si l’existence d’équilibres dans les jeux à champ moyen est maintenant bien comprise, l’unicité reste connue dans un nombre très limité de cas. A cet égard, la condition la plus connue est celle dite de monotonie, due à Lasry et Lions. Dans cette thèse, nous démontrons, que pour une certaine classe de jeux à champ moyen, l’unicité peut être rétablie à l’aide d’un forçage aléatoire des dynamiques, communs à tous les joueurs. Un tel forçage est appelé “bruit commun”. Nous montrons également que, dans certains cas, il est possible de sélectionner des équilibres en l’absence de bruit commun en faisant tendre le bruit commun vers zéro. Enfin, nous montrons comment ces résultats s’appliquent à des problèmes de type “principal-agents”, avec un grand nombre d’agents en interaction.

The purpose of this thesis is to present several results on the restoration of uniqueness and selection of equilibria when uniqueness fails in mean field games. The theory of mean field games was initiated in the 2000s by two groups of researchers, Lasry and Lions in France, and Huang, Caines, and Malhamé in Canada. The aim of this theory is to describe the Nash equilibria in stochastic differential games involving a large number of players interacting with each other through their common empirical measure, under sufficient symmetry hypothesis. If the existence of equilibria in mean field games is now well understood, uniqueness remains known in a very limited number of cases. In this respect, the most well-known condition is the monotony hypothesis, due to Lasry and Lions. In this thesis, we demonstrate that for a certain class of mean field games, uniqueness can be restored by means of a random and common forcing, acting on all the players. Such a forcing is called “common noise”. We also show that in some cases it is possible to select equilibria in the absence of common noise by letting the common noise tend towards zero. Finally, we show how these results apply to “principal-agent” .problems, with a large number of interacting agents.