Thèse soutenue

Estimation PAC-bayésienne de matrices de faible rang
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Auteur / Autrice : The Tien Mai
Direction : Pierre Alquier
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 23/06/2017
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en économie et statistique (France) - Centre de Recherche en Économie et Statistique / CREST
établissement opérateur d'inscription : École nationale de la statistique et de l'administration économique (Palaiseau, Essonne)
Jury : Président / Présidente : Gérard Biau
Examinateurs / Examinatrices : Pierre Alquier, Gérard Biau, Judith Rousseau, Alexandre B. Tsybakov, Nial Friel, Christophe Giraud
Rapporteurs / Rapporteuses : Judith Rousseau

Résumé

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Les deux premi`eres parties de cette th`ese 'etudient respectivement des estimateurs pseudo-bay'esiens dans les probl`emes de compl'etion de matrices, et de tomographie quantique. Dans chaque probl`eme, on propose une loi a priori qui induit des matrices de faible rang. On 'etudie les performances statistiques: dans chacun des deux cas, on prouve des vitesses de convergence pour nos estimateurs. Notre analyse repose essentiellement sur des in'egalit'es PAC-Bay'esiennes. On propose aussi un algorithme MCMC pour impl'ementer notre estimateur. On teste ensuite ses performances sur des donn'ees simul'ees, et r'eelles. La derni`ere partie de la th`ese 'etudie le probl`eme de lifelong learning (que l'on peut traduire par apprentissage au long cours), o`u de l'information est conserv'ee et transf'er'ee d'un probl`eme d'apprentissage `a un autre. Nous proposons une formalisation de ce probl`eme dans un contexte de pr'ediction s'equentielle. Nous proposons un m'eta-algorithme pour le transfert d'information, qui repose sur l'agr'egation `a poids exponentiels. On prouve une borne sur le regret de cette m'ethode. Un avantage important de notre analyse est qu'elle ne requiert aucune hypoth`ese sur la forme des algorithmes d'apprentissages utilis'es `a l'int'erieur de chaque probl`eme. On termine cette partie par l''etude de quelques exemples: cas d'un nombre fini de pr'edicteurs, apprentissage d'une direction r'ev'elatrice, et apprentissage d'un dictionnaire.