Quelques problèmes de stabilisation directe et indirecte d’équations d’ondes par des contrôles de type fractionnaire frontière ou de type Kelvin-Voight localisé

par Mohammad Akil

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Noureddine Igbida et de Ali Wehbe.

Soutenue le 06-10-2017

à Limoges en cotutelle avec École Doctorale des Sciences et de Technologie (Beyrouth) , dans le cadre de École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018) , en partenariat avec XLIM (laboratoire) .

Le jury était composé de Zhuangyi Liu, Farid Ammar-Khodja, Yacine Chitour, Michel Mehrenberger, Mustapha Jazar.

Les rapporteurs étaient Zhuangyi Liu, Farid Ammar-Khodja.

mots clés

• C0 semi-groupe
• Dérivée fractionnaire
• Stabilité forte
• Stabilité exponentielle
• Stabilité polynomiale
• Optimalité
• Méthode spectrale
• Conditions géométriques
• Équations d'onde
• Équations différentielles fractionnaires

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation directe et indirecte de différents systèmes d’équations d’ondes avec un contrôle frontière de type fractionnaire ou un contrôle local viscoélastique de type Kelvin-Voight. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation d’ondes multidimensionnel avec un contrôle frontière fractionnaire au sens de Caputo. Sous des conditions géométriques optimales, nous établissons un taux de décroissance polynomial de l’énergie de système. Ensuite, nous nous intéressons à l’étude de la stabilisation d’un système de deux équations d’ondes couplées via les termes de vitesses, dont une seulement est amortie avec contrôle frontière de type fractionnaire au sens de Caputo. Nous montrons différents résultats de stabilités dans le cas 1-d et N-d. Finalement, nous étudions la stabilité d’un système de deux équations d’ondes couplées avec un seul amortissement viscoélastique localement distribué de type Kelvin-Voight.

mots clés

• C0 semi-groupe
• Fractional derivative
• Strong stability
• Exponential Stability
• Polynomial Stability
• Optimality
• Spectral method,
• Geometric condition

Titre traduit

Some problems of direct and indirect stabilization of wave equations with locally boundary fractional damping or with localised Kelvin-Voigh

Résumé

This thesis is devoted to study the stabilization of the system of waves equations with one boundary fractional damping acting on apart of the boundary of the domain and the stabilization of a system of waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight type. First, we study the stability of the multidimensional wave equation with boundary fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Second, we study the stability of the system of coupled onedimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Next, we study the stability of the system of coupled multi-dimensional wave equation with one fractional damping acting on a part of the boundary of the domain. Finally, we study the stability of the multidimensional waves equations with locally viscoelastic damping of Kelvin-Voight is applied for one equation around the boundary of the domain.