Stabilité des systèmes commutés non linéaires. Vitesses de convergence

• Auteur / Autrice : Saïd Naciri
• Direction : Philippe Jouan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Rouen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences physiques mathématiques et de l'information pour l'ingénieur (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime....-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime2000-...)
• Jury : Président / Présidente : Paul Raynaud de Fitte
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Yacine Chitour

Mots clés

Mots clés contrôlés

Observateurs d'états (mathématiques)

Liapounov, Fonctions de

Liapounov, Stabilité de

Commande non linéaire

Commande, Théorie de la

Mots clés libres

Systèmes à commutation

Stabilité asymptotique

Ensembles omega-limites

Systèmes bilinéaires

Vitesse de convergence

Résumé

Un système à commutation est la donnée d’une famille de champs de vecteurs et d’une loi indiquant à chaque instant le champ de vecteurs responsable de l’évolution du système. Cette loi est en général donnée par une fonction du temps constante par morceaux. Ce type de systèmes différentiels alliant dynamiques continues et événements discrets permet de modéliser des phénomènes complexes, souvent rencontrés en automatique. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de la stabilité des systèmes à commutation qui a largement été étudié ces deux dernières décennies. Un tel système est dit asymptotiquement stable en un point d’équilibre si le système est peu sensible aux perturbations au voisinage de ce point et toute solution converge vers cet équilibre. Dans la pratique, la loi de commutation n’étant pas connue, il est capital de trouver des conditions garantissant la stabilité asymptotique quelle que soit la loi de commutation. La principale difficulté réside dans le fait qu’une propriété partagée par tous les sous-systèmes n’est pas nécessairement satisfaite par le système commuté. Les fonctions de Lyapunov, qui jouent le rôle de l’énergie du système, restent un outil puissant dans l’analyse de la stabilité des systèmes à commutation. Dans ce travail, nous étudions principalement les systèmes à commutation donnés par une famille de champs de vecteurs admettant une fonction de Lyapunov faible commune. Nous présentons un résultat qui peut être vu comme une généralisation aux systèmes à commutation du principe d’invariance de LaSalle, puis nous en déduisons des conditions suffisantes de stabilité. Nous établissons un lien entre la stabilité des systèmes à commutation et l’observabilité d’un sous-système dont la dimension est en général beaucoup plus petite. Ensuite, nous tournons notre attention vers les taux de convergence des solutions de tels systèmes.

A switched system is a family of vector fields together with a law that indicates at each time which vector field is responsible for the evolution of the system. In general, this law is given by a piecewise constant function of time. This kind of differential systems which are a mixture of continuous dynamics and discrete events allow to model complex phenomena, often encountered in Automatic control. In this PhD thesis, we are interested in the stability properties of switched systems, which has been extensively studied the last two decades. Such a system is said to be asymptotically stable at an equilibrium point if the system is not sensitive to perturbations around this point and all solutions converge to this equilibrium. In practice, the switching law being unknown, it is crucial to find conditions guaranteeing that the switched system is asymptotically stable for arbitrary switching laws. The main difficulty resides in the fact that a property satisfied by all the subsystems does not automatically transpose to the switched system. Lyapunov functions, which play the role of the energy of the system, remain a powerful tool in the stability analysis of switched systems. In this work, we mainly deal with switched systems given by a family of vector fields that share a common weak Lyapunov function. We present a result that can be viewed as a generalization of the LaSalle’s invariance principle to switched systems, then we derive sufficient conditions for the stability. We establish a link between the stability properties of switched system and the observability of a sub-system whose dimension is in most cases much smaller. Next, we turn our attention to the convergence rate of the solutions of such systems.