Modélisation de la dépendance et estimation du risque agrégé

Dependence modelling and risk aggregation estimation

• Auteur / Autrice : Andrés Cuberos
• Direction : Véronique Maume-Deschamps, Esterina Masiello
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/12/2015
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences économiques et de gestion (Lyon ; 2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de science financière et d'assurances (Lyon, Rhône)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Noël Bacro
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Véronique Maume-Deschamps, Esterina Masiello
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marie Kratz, Stéphane Girard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mesures spectrales (mathématiques)

Modèles mathématiques

Gestion du risque

Mots clés libres

Agrégation des risques

Copules

Copules empiriques

Copules échiquier

Estimation de la VaR

Fonctions à variation régulier

Mesure spectrale

Risk aggregation

Copulas

Empirical copulas

Checkerboard copulas

Value at risk estimation

Regularly varying functions

Spectral measure

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude de la modélisation et estimation de la dépendance des portefeuilles de risques et l'estimation du risque agrégé. Dans le Chapitre 2, nous proposons une nouvelle méthode pour estimer les quantiles de haut niveau pour une somme de risques. Elle est basée sur l'estimation du rapport entre la VaR de la somme et la VaR du maximum des risques. Nous utilisons des résultats sur les fonctions à variation régulière. Nous comparons l'efficacité de notre méthode avec quelques estimations basées sur la théorie des valeurs extrêmes, sur plusieurs modèles. Notre méthode donne de bons résultats lors de l'approximation de la VaR à des niveaux élevés lorsque les risques sont fortement dépendants et au moins l'un des risques est à queue épaisse. Dans le Chapitre 3, nous proposons une procédure d'estimation pour la distribution d'un risque agrégé basée sur la copule échiquier. Elle permet d'obtenir de bonnes estimations à partir d'un petit échantillon de la loi multivariée et une connaissance complète des lois marginales. Cette situation est réaliste pour de nombreuses applications. Les estimations peuvent être améliorées en incluant dans la copule échiquier des informations supplémentaires (sur la loi d'un sous-vecteur ou sur des probabilités extrêmes). Notre approche est illustrée par des exemples numériques. Finalement, dans le Chapitre 4, nous proposons un estimateur de la mesure spectrale basé sur l'estimation à noyau de la densité de la mesure spectrale d'une distribution à variation régulière bivariée. Une extension de notre méthode permet d'estimer la mesure spectrale discrète. Certaines propriétés de convergence sont obtenues

This thesis comprises three essays on estimation methods for the dependence between risks and its aggregation. In the first essay we propose a new method to estimate high level quantiles of sums of risks. It is based on the estimation of the ratio between the VaR (or TVaR) of the sum and the VaR (or TVaR) of the maximum of the risks. We use results on regularly varying functions. We compare the efficiency of our method with classical ones, on several models. Our method gives good results when approximating the VaR or TVaR in high levels on strongly dependent risks where at least one of the risks is heavy tailed. In the second essay we propose an estimation procedure for the distribution of an aggregated risk based on the checkerboard copula. It allows to get good estimations from a (quite) small sample of the multivariate law and a full knowledge of the marginal laws. This situation is realistic for many applications. Estimations may be improved by including in the checkerboard copula some additional information (on the law of a sub-vector or on extreme probabilities). Our approach is illustrated by numerical examples. In the third essay we propose a kernel based estimator for the spectral measure density of a bivariate distribution with regular variation. An extension of our method allows to estimate discrete spectral measures. Some convergence properties are obtained