Modèle d'îlots de particules et application en fiabilité

Island particle models and their application in reliability

• Auteur / Autrice : Christelle Vergé
• Direction : Pierre Del Moral, Éric Moulines
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Gobet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Morio, Wojciech Pieczynsky
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Tony Lelièvre, Bruno Tuffin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Filtres (mathématiques)

Mots clés libres

Approximation particulaire

Modèle d'îlots de particules

Mesure Feynman-Kac

Calcul en parallèle

Méthode Monte-Carlo séquentielle

Résumé

Les modèles de Feynman-Kac (généralisant les modèles de Markov cachés) sont aujourd'hui très largement utilisés afin de modéliser une grande diversité de séries temporelles dans différents domaines tels que l'aéronautique, l'analyse d'évènements rares, le traitement du signal, les mathématiques financières, la biologie, etc. La complexité croissante de ces modèles a conduit au développement d'approximations via différentes méthodes de Monte-Carlo, dont les méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et les méthodes de Monte-Carlo séquentielles (SMC). Les méthodes SMC appliquées au filtrage particulaire sont au centre de cette thèse. Elles consistent à approcher la loi d'intérêt à l'aide d'une population de particules en interaction définies séquentiellement. De nombreux algorithmes ont déjà été développés et étudiés dans la littérature. Nous proposons des techniques de parallélisation des méthodes SMC, en considérant des sous-populations de particules appelées îlots qui peuvent également interagir entre elles. Nous étudions les propriétés de convergence de ces algorithmes d'îlots de particules. En particulier, nous démontrons un théorème central limite (TCL) et la stabilité de la variance des estimateurs induits, grâce à des inégalités de déviation exponentielle et des tableaux triangulaires définis au niveau des îlots. Nous proposons également un nouvel algorithme de type îlots de particules en interaction pour estimer la loi de paramètres aléatoires conditionnellement à la réalisation d'un évènement rare. Nous illustrons sa convergence et nous l'appliquons à deux cas critiques en aérospatiale.

Feynman-Kac models (which generalize hidden Markov models) are nowadays widely used as they allow to model a large variety of time series in several fields such as aeronautics, rare event analysis, signal processing, finance, biology, and so on. Different approximations based on Monte Carlo principles have been developed as Markov chain Monte Carlo (MCMC) and sequential Monte Carlo (SMC). In this thesis, we focus on SMC methods. They consist in approximating a targeted law through an interacting particle system sequentially defined. Numerous algorithms have been developed and studied in the literature. We propose techniques of parallelization of such SMC methods, considering subpopulations of particles referred to by us as islands which can also interact. We study convergence properties of these island particle algorithms. Especially, we prove a central limit theorem (CLT) and the stability of the variance, thanks to exponential deviation inequality and triangular arrays dened on the island level. We also propose a novel algorithm of interacting island particles to estimate the law of random parameters conditionally to a rare event. We illustrate its convergence and we apply it to two critical cases in aerospace.