Maximisation de l’utilité et prix de l’indifférence pour des modéles semimartingales exponentiels

Utility maximisation and utility indifference pricing for exponential semimartingale models

• Auteur / Autrice : Anastasia Ellanskaya
• Direction : Lioudmila Vostrikova
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 09/01/2015
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
• Jury : Président / Présidente : Youri Kabanov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Loïc Chaumont, Vladimir Roubtsov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Monique Jeanblanc, Thaleia Zariphopoulou

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lévy, Processus de

Semimartingales (mathématiques)

Mots clés libres

Maximisation d’utilité

Prix d’indifférence

F-Divergence

Modèle de Lévy

Utility maximisation

Utility indifference price

Semimartingale

F-Divergence minimal martingale measure

Exponential Levy model

Résumé

Dans cette thèse nous considérons le problème de la maximisation d’utilité et de la formation des prix d’indifférence pour les modèles semimartingales exponentiels dépendant d’un facteur aléatoire ξ. L’enjeu est de résoudre le problème des prix d’indifférence en utilisant le grossissement de l’espace et de la filtration. Nous réduisons le problème de maximisation dans la filtration élargie au problème conditionnel, sachant {ξ = v}, que nous résolvons en utilisant une approche duale. Pour HARA-utilités nous introduisons les informations telles que les entropies relatives et les intégrales de type Hellinger, ainsi que les processus d’information correspondants, enfin d’exprimer, via ces processus, l’utilité maximal. En particulier, nous étudions les modèles de Lévy exponentiels, où les processus d’information sont déterministes ce que simplifie considèrablement les calculs des prix d’indiffrence. Enfin, nous appliquons les rèsultats au modèle du mouvement brownien géométrique et au modèle de diffusion-sauts qui inclut le mouvement brownien et les processus de Poisson. Dans les cas d’utilité logarithmique, de puissance et exponentielle, nous fournissons les formules explicites des informations, et puis, en utilisant les méthodes numériques, nous résolvons les équations pour obtenir les prix d’indifférence en cas de vente d’une option européenne.

This thesis explores the utility maximisation problem and indifference pricing for exponential semimartingale models depending on a random factor ξ. The main idea to solve indifference pricing problem consists in the enlargement of the space and filtration. We reduce the maximization problem on the enlarged filtration to the conditional one, given {ξ = v}, which we solve using dual approach. For HARA-utilities we introduce the information quantities such that the relative entropies, Hellinger type integrals, and the corresponding information processes, and we express the maximal utility via these processes. As a particular case, we study exponential Levy models, where the information processes are deterministic and this fact simplify very much indifference price calculus. Finally, we apply the results to Geometric Brownian motion model and jump-diffusion model which incorporates Brownian motion and Poisson process. In the cases of logarithmic, power and exponential utilities, we provide the explicit formulae of information quantities and using the numerical methods we solve the equations for the seller’s and buyer’s indifference prices of European put option.