Contrôle stochastique par méthodes de quantification et applications à la finance

• Auteur / Autrice : Camille Illand
• Direction : Gilles Pagès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Équations différentielles stochastiques

Programmation dynamique

Processus stochastiques

Résumé

Cette thèse est constituée de trois parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie, on s'intéresse à la résolution de problème de contrôle stochastique par des méthodes de quantification. La quantification consiste à trouver la meilleure approximation d'une loi de probabilité continue par une loi de probabilité discrète avec un nombre donné N de points supportant cette loi. Nous allons expliciter un cadre de programmation dynamique ” générique ” qui permet de résoudre de nombreux problèmes de contrôle stochastique comme les problèmes de temps d'arrêt optimal, de maximisation d'utilité, d'équations différentielles stochastiques rétrogrades, de filtrage. . . Dans ce cadre, nous donnons trois schémas de discrétisation en espace associée à la quantification d'une chaîne de Markov. Dans la deuxième partie, nous présentons un schéma numérique pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades doublement réfléchies. Nous nous plaçons dans un cadre général qui contient des sauts et des processus progressifs dépendant de la trajectoire. On propose une approximation du type schéma d'Euler. Nous prouvons la convergence du schéma pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades quand le nombre de pas de temps n tend vers l'infini. Nous donnons aussi la vitesse de convergence pour les game options. Dans la troisième partie, on s'intéresse à la réplication des dérivés sur la variance réalisée. On propose une couverture robuste au modèle de volatilité constituée de positions dynamiques sur des options européennes. On étend ensuite cette méthodologie aux options sur fond et aux processus à saut.

This thesis contains three parts that can be read independently. In the first part, we study the resolution of stochastic control problems by quantization methods. The quantization consists in finding the best approximation of continuous probability distribution by a discrete probability law with a number N of points supporting this distribution. We explicit a framework of “generic” dynamic programming which permits to resolve many stochastic control problems, such as optimal stopping time problems, maximization of utility, backward stochastic differential equations (BSDE), filter problems… In this context, we give three discretization schemes in space associated to the quantization of a Markov chain. In the second part, we present a numerical scheme for doubly reflected BSDEs. We consider a general framework which contains jumps and path-dependent progressive processes. We use a discrete time Euler-type approximation scheme. We prove the convergence of this scheme for BSDE when the time step number n tends to infinity. We also give the convergence speed for game options. In the third part, we focus on the replication of derivatives on realized variance. We suggest a robust hedging to the volatility model with dynamic positions on European options. Then, we extend this methodology to fund options and to jump process.