Etude de processus de diffusion

• Auteur / Autrice : Samuel Herrmann
• Direction : Bernard Roynette
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Nancy 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Solutions de viscosité

Mesures invariantes

Grandes déviations

Hamilton-Jacobi, Équations de

Processus de diffusion

Équations différentielles stochastiques

Mouvement brownien

Chaos (théorie des systèmes)

Résumé

La première partie contient l'étude d'un phénomène de grandes déviations. Elle généralise les résultats de Freidlin et Wentzell liés au comportement asymptotique d'une solution d'une équation différentielle stochastique, dont le coefficient de diffusion tend vers zéro. Elle met en valeur l'étude du cas où l'équation différentielle ordinaire associée au problème limité, satisfait un phénomène de Peano. Les arguments sont probabilistes (principe de grandes déviations et calcul stochastique) mais également analytique (solutions de viscosité d'équations de Hamilton-Jacobi). Dans la seconde partie, on étudie un système de processus auto stabilisant qui s'obtient comme limite, par propagation du chaos, d'un système de particules. Ces particules satisfont à une équation différentielle stochastique et sont regroupées en deux familles. Les particules de la même famille s'attirent et les particules de familles différentes se repoussent. On montre alors que le système limite admet une unique solution qui, de plus, se stabilise quand le temps devient grand, c'est-a-dire que la loi de la solution tend vers l'unique mesure stationnaire. Enfin, la dernière partie se concentre sur l'étude d'une diffusion à mémoire longue inspirée des marches aléatoires renforcées. La dérive de cette diffusion particulière dépend de tout le passé et attire le processus vers l'endroit où il a passé la majeure partie de son temps. Suivant le comportement de la fonction d'interaction au voisinage de l'origine, on montre que la diffusion converge presque surement ou, au contraire, qu'elle ne converge pas, tout en restant bornée presque surement. Les démonstrations reposent essentiellement sur des principes de comparaisons entre les diffusions.