Problèmes statistiques pour des modèles à variables latentes : propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance

• Auteur / Autrice : Randal Douc
• Direction : Christian P. Robert, Éric Moulines
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Jury : Président / Présidente : Elisabeth Gassiat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Francq, François Legland
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bernard Prum, Ya'acov Ritov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Estimation, Théorie de l'

Maximum de quasi-vraisemblance (statistique)

Modèles de Markov cachés

Résumé

Un modèle autorégressif à régime markovien est un processus à temps discret à deux composantes x n, y n évoluant de la façon suivante : x n est une chaine de Markov homogène et y n suit une loi conditionnelle dépendante non seulement de x n mais aussi de y n 1, , y n 8. Le processus x n, usuellement appelé régime n'est pas observé et l'inférence doit être menée à partir du processus observable y n. Ces modèles incluent en particulier les modèles de chaines de Markov cachées utilisés en reconnaissance de la parole, économétrie, neuro-physiologie ou analyse des séries temporelles. Dans ce travail, nous prouvons consistance et normalité asymptotique de l'estimateur de maximum de vraisemblance dans le cas où les variables aléatoires cachées vivent dans un espace compact non nécessairement fini. Nous investissons deux techniques différentes, la première appliquée aux modèles de Markov cachées utilise l'ergodicité géométrique de certaines chaines de Markov étendues, et s'appuie sur une méthode proposée par Legland et Mevel (1997) dans le cas où les x k prennent un nombre fini de valeurs. Bien que cette technique semble adaptée à l'étude des estimateurs récursifs (ou l'estimateur est réévalue à chaque nouvelle observation), sa mise en oeuvre nécessite néanmoins des hypothèses relativement fortes. Une seconde approche que nous avons directement applique aux modèles autorégressifs non-linéaires a régime markovien utilise des approximations par des suites stationnaires et permet de prouver consistance et normalité asymptotique sous des hypothèses plus faibles