Analyse stochastique de signaux multi-fractaux et estimations de paramètres

Stochastic analysis of multifractal signals, and estimations of parameters

• Auteur / Autrice : Stéphanie Léger
• Direction : Monique Pontier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Orléans

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien

Résumé

Le mouvement brownien fractionnaire (MBF) défini par Mandelbrot et Van Ness (1968) est utilisé dans de nombreuses situations. Mais, de part sa définition, il ne peut modéliser que des processus de R à valeurs dans R. Pour étudier des radiographies d'os afin de déterminer si une personne est atteinte ou non de l'ostéoporose, nous avions besoin d'un champ défini sur R2 à valeurs dans R. Nous avons donc généralisé le MBF et construit le drap brownien fractionnaire (DBF) dépendant de deux paramètres a et b. Nous avons montré que ce champ, comme le MBF, était auto-simulaire, à accroissements stationnaires. Puis nous avons défini des estimateurs de ces paramètres et construit un test d'auto-similarité en utilisant des techniques d'Istas et Lang (1997) comme le fait Bardet (1999) pour le MBF. Ce test d'auto-similarité nous a permis de montrer que les radiographies d'os ne possédaient pas cette propriété. En collaboration avec A. Ayache, nous avons défini un nouveau champ : le drap brownien multifractionnaire (DBM), non auto-similaire, en substituant aux paramètres a et b des fonctions höldériennes comme l'ont fait Lévy-Vehel, Peltier (1995) ou Bénassi, Jaffard, Roux (1997) pour le MBF. Nous nous sommes intéressés aux propriétés locales de ce champ, puis nous avons construit des estimateurs des fonctions a et b afin d'appliquer ce nouveau modèle à la caractérisation de l'ostéoporose.