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Thèse soutenue

Options américaines dans un modèle de Black-Scholes multidimensionnel

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Auteur / Autrice : Stéphane Villeneuve
Direction : Damien Lamberton
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 1999
Etablissement(s) : Université de Marne-la-Vallée (1991-2019)

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Options (finances)
Finances -- Modèles mathématiques
Équations aux dérivées partielles

Résumé

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Le but de cette these est l'etude des options americaines dans un modele de diffusion multi-dimensionnel. Mathematiquement, cette etude est liee a un probleme d'arret optimal a horizon fini ou non. La premiere partie s'interesse a la description du modele a la valorisation des options americaines comme solution d'une inequation variationnelle parabolique et a l'existence ou non d'une region d'arret plus communement appele region d'exercice en finance. Le premier chapitre fournit une condition necessaire et suffisante portant sur le generateur infinitesimal de la diffusion pour que la region d'arret soit non vide. Les chapitres suivants etudient les proprietes des regions d'exercice associees a certains types d'options couramment negociees sur les marches : convexite, regularite et comportement asymptotique pour des horizons infinis ou proches de zero. La deuxieme partie concerne l'analyse numerique des options americaines en dimension deux. Apres avoir rappele les differentes formulations utilisant des equations aux derivees partielles (solution dans des espaces de sobolev ou solution de viscosite), deux methodes d'approximation du type directions alternees sont proposees et deux theoremes de convergence sont etablis. Un resultat de comparaison entre ces methodes termine cette partie. La derniere partie etudie le prix critique du put americain au voisinage de l'echeance lorsque l'action verse des dividendes. Un resultat concernant la stricte monotonie du prix critique est prouve ainsi qu'un encadrement de ce prix au voisinage de l'echeance